FMP Oujda 2013/2014 · Corrigé

Faculté de Médecine et Pharmacie · Oujda · QCM 01 à 09

QCM 01 nombres complexes

Plan complexe,

z

un nombre complexe

A : Im (z^{2}) = - (Im (z))^{2}

B : | 2 i - z | = | 2 + i z | \Rightarrow Im (z) = 1

C : \forall z \neq 0 : M(z), N(1/z), O alignés

D : | 1 + i z | = | 1 - i z | \Rightarrow Re (z) = 0

E : z = 1 + i \Rightarrow z^{6} = - 4 i

✧ Correction

A : z = x + i y; z^{2} = x^{2} - y^{2} + 2 i x y; Im (z^{2}) = 2 x y \neq - y^{2} (faux)

B : | 2 i - z | = | 2 + i z | ⇨ x^{2} + (y - 2)^{2} = (2 - y)^{2} + x^{2} ⇒ égalité toujours vraie (faux)

C : \frac{1}{z} = \frac{\bar{z}}{| z |^{2}}; N a même direction que M mais avec un coefficient réel, donc O,M,N alignés (vrai)

D : | 1 + i z | = | 1 - i z | ⇨ Im (z) = 0 (faux)

E : z = 1 + i = \sqrt{2} e^{\frac{i π}{4}}; z^{6} = {(\sqrt{2})}^{6} e^{\frac{6 i π}{4}} = 8 e^{\frac{3 i π}{2}} = - 8 i (faux)

✅ Réponse C

QCM 02 polynôme complexe

p (z) = 2 z^{3} + 14 z^{2} + 41 z + 68

A : p (z) non divisible par (z + 4)

B : z_{2} + z_{3} = 0

C : ABC isocèle rectangle en A

D : | z_{2} - z_{1} | = 2

E : z_{M} = - 13; z_{N} = - 13 + 5 i

✧ Correction

Test de la racine -4 : p (- 4) = 2 (- 64) + 14 (16) + 41 (- 4) + 68 = - 128 + 224 - 164 + 68 = 0 donc (z+4) divise p(z) (A faux)

Division par (z+4) : p (z) = (z + 4) (2 z^{2} + 6 z + 17)

Δ = 36 - 4 \times 2 \times 17 = 36 - 136 = - 100

z_{2} = \frac{- 6 + 10 i}{4} = - \frac{3}{2} + \frac{5}{2} i; z_{3} = - \frac{3}{2} - \frac{5}{2} i; z_{1} = - 4

B : z_{2} + z_{3} = - 3 \neq 0 (faux)

C : A (- 4, 0); B (- \frac{3}{2}, \frac{5}{2}); C (- \frac{3}{2}, - \frac{5}{2})

\vec{AB} = (\frac{5}{2}, \frac{5}{2}); \vec{AC} = (\frac{5}{2}, - \frac{5}{2})

\vec{AB} \cdot \vec{AC} = \frac{25}{4} - \frac{25}{4} = 0 donc rectangle en A ; AB = AC = \frac{5 \sqrt{2}}{2} donc isocèle (C vrai)

D : | z_{2} - z_{1} | = | - \frac{3}{2} + \frac{5}{2} i + 4 | = | \frac{5}{2} + \frac{5}{2} i | = \frac{5 \sqrt{2}}{2} \neq 2 (faux)

E : centre A(-4,0) ; carré BCMN : z_{M} = - 13; z_{N} = - 13 + 5 i (faux car énoncé incomplet)

✅ Réponse C

QCM 03 géométrie dans l'espace

(P) : 2 x - 3 y + z - 6 = 0

A : (P) ne passe pas par A(3,0,0)

B : \vec{AD} n'est pas normal au plan (P)

C : (P') // (P) passant par D : 2x-3y+z+20=0

D : A et D n'appartiennent pas à (R): x+y+z-3=0

E : (P) et (R) sécants suivant (Δ) de vecteur directeur (4,1,-5)

✧ Correction

A : 2 \times 3 - 3 \times 0 + 0 - 6 = 0 donc A ∈ (P) (faux)

B : \vec{AD} = (2, - 3, 1) = vecteur normal à (P) (faux)

C : (P') // (P) : 2x-3y+z+d=0 ; D(5,-3,1) : 10+9+1+d=0 ⇒ d=-20 (faux)

D : A(3,0,0) : 3-3=0 donc A ∈ (R) (faux)

E : normal de (P) : (2,-3,1) ; normal de (R) : (1,1,1) ; leur produit vectoriel donne (4,-1,5) ou (-4,1,-5) donc (4,1,-5) n'est pas un vecteur directeur (faux)

✅ Réponse Aucune (toutes sont fausses)

QCM 04 intégrale

On considère f (x) = | x - 2 | + 1; I = \int_{0}^{3} f (x) dx

A : I = \frac{11}{2}

B : I = \frac{11}{4}

C : I = \frac{13}{2}

D : I = \frac{9}{2}

E : I = 4

✧ Correction

f (x) = {\begin{matrix} - x + 3 & x \leq 2 \\ x - 1 & x \geq 2 \end{matrix}

I = \int_{0}^{2} (- x + 3) dx + \int_{2}^{3} (x - 1) dx = {[- \frac{x^{2}}{2} + 3 x]}_{02} + {[\frac{x^{2}}{2} - x]}_{23}

= (- 2 + 6) + (\frac{9}{2} - 3 - 2 + 2) = 4 + (\frac{9}{2} - 3) = 4 + \frac{3}{2} = \frac{11}{2}

✅ Réponse A

QCM 05 fonction logarithme

f (x) = x + 5 + 6 \ln (\frac{x}{x - 1}) sur] - \infty, 0 [

A : asymptote oblique y = - x + 4

B : f^{'} (- 5) = 7

C : tangente en x = - 3 : y = \frac{1}{2} x + \frac{7}{2} + 6 \ln (\frac{3}{4})

D : h (x) = \frac{x^{2}}{2} + 5 x + 6 \ln (\frac{x}{x - 1}) primitive de f

E : \lim_{} f (x) = + \infty

✧ Correction

A : \lim_{x \to - \infty} \frac{f (x)}{x} = 1; \lim_{x \to - \infty} (f (x) - x) = 5 donc asymptote y = x + 5 (faux)

B : f^{'} (x) = 1 + \frac{6}{x (x - 1)}; f^{'} (- 5) = 1 + \frac{6}{30} = 1.2 (faux)

C : f^{'} (- 3) = 1 + \frac{6}{12} = \frac{3}{2}; f (- 3) = 2 + 6 \ln (\frac{3}{4}); tangente : y = \frac{3}{2} (x + 3) + 2 + 6 \ln (\frac{3}{4}) = \frac{3}{2} x + \frac{13}{2} + 6 \ln (\frac{3}{4}) (faux)

D : h^{'} (x) = x + 5 + \frac{6}{x (x - 1)} = f (x) donc D vrai

E : \lim_{x \to 0^{-}} \frac{x}{x - 1} = 0^{-} donc \ln (\frac{x}{x - 1}) \to - \infty donc f (x) \to - \infty (faux)

✅ Réponse D

QCM 06 suite

u_{0} = - 2; u_{n + 1} = 1 + \frac{1}{2} u_{n}; v_{n} = u_{n} - 2

A : (u_{n}) est décroissante

B : \lim_{} u_{n} = 2

C : (v_{n}) arithmétique de raison \frac{1}{2}

D : v_{n} = - \frac{1}{2} n - 2

E : u_{n} = 2 - 4 (\frac{1}{2})^{n}

✧ Correction

Point fixe : l = 1 + \frac{1}{2} l \Rightarrow \frac{1}{2} l = 1 \Rightarrow l = 2

u_{n} - 2 = \frac{1}{2} (u_{n - 1} - 2) = (- 2 - 2) {(\frac{1}{2})}^{n} = - 4 {(\frac{1}{2})}^{n}

A : u_{1} = 1 + \frac{1}{2} (- 2) = 0; u_{0} = - 2; suite croissante (faux)

B : \lim_{} u_{n} = 2 (vrai)

C : v_{n} = - 4 {(\frac{1}{2})}^{n} est géométrique (faux)

D : v_{n} = - 4 {(\frac{1}{2})}^{n} (faux)

E : u_{n} = 2 - 4 {(\frac{1}{2})}^{n} (vrai)

✅ Réponses B et E

QCM 07 sommes et séries

Choisir la réponse juste

A : \sum_{k = 1}^{n} \frac{1}{k (k + 1) (k + 2)} = \frac{n + 3}{4 (n + 1) (n + 2)}

B : 1 + 2 + ... + (n - 1)! \geq n!

C : \sum_{k = 2}^{n + 1} \frac{1}{10^{k}} = \frac{1}{90} (1 + \frac{1}{10^{n}})

D : \sum_{k = 1}^{n} \frac{1}{k^{2}} \to 0

E : 1! + 2! + ... + (n - 1)! \geq n!

✧ Correction

A : \frac{1}{k (k + 1) (k + 2)} = \frac{1}{2} (\frac{1}{k (k + 1)} - \frac{1}{(k + 1) (k + 2)})

Donc la somme vaut \frac{1}{2} (\frac{1}{2} - \frac{1}{(n + 1) (n + 2)}) = \frac{n (n + 3)}{4 (n + 1) (n + 2)} (A faux)

B : pour n=3 : 1+2=3 < 6 (faux)

C : \sum_{k = 2}^{n + 1} \frac{1}{10^{k}} = \frac{1}{100} \times \frac{1 - 10^{- n}}{1 - \frac{1}{10}} = \frac{1}{90} (1 - \frac{1}{10^{n}}) (faux)

D : la série converge vers π²/6 (faux)

E : pour n=3 : 1!+2!=3 < 6 (faux)

✅ Réponse Aucune (toutes sont fausses)

QCM 08 dérivée et limite

f (x) = \frac{\cos x}{x + 2 \sin x}

A : f^{'} (x) = \frac{- x \sin x - \cos x - 2}{(x + 2 \sin x)^{2}}

B : f^{'} (x) = \frac{- x \sin x - \cos x + 2}{(x + 2 \sin x)^{2}}

C : \lim_{} f (x) = + \infty

D : \lim_{} f (x) = \frac{1}{2}

E : \lim_{} f (x) = 0

✧ Correction

f^{'} (x) = \frac{- \sin x (x + 2 \sin x) - \cos x (1 + 2 \cos x)}{(x + 2 \sin x)^{2}}

= \frac{- x \sin x - 2 \sin^{2} x - \cos x - 2 \cos^{2} x}{(x + 2 \sin x)^{2}} = \frac{- x \sin x - \cos x - 2}{(x + 2 \sin x)^{2}}

Donc A est vraie

E : | f (x) | \leq \frac{1}{| x | - 2} \to 0 donc E vraie

✅ Réponses A et E

QCM 09 inéquation logarithmique

1 + \ln x + \ln^{2} x + \ln^{3} x > 0

A :] 0, e^{- 1} [

B :] 0, + \infty [

C :] - \infty, e^{- 1} [

D :] 0, + \infty [

E :] - \infty, e^{- 1} [

✧ Correction

Posons t = \ln x; x > 0; 1 + t + t^{2} + t^{3} > 0

1 + t + t^{2} + t^{3} = (1 + t) (1 + t^{2})

Comme 1 + t^{2} > 0 pour tout t, l'inéquation équivaut à 1 + t > 0 donc t > - 1

\ln x > - 1 \Rightarrow x > e^{- 1}; avec x > 0 donc x \in] e^{- 1}, + \infty [

✅ Réponse Aucune (la bonne est ]e⁻¹, +∞[)