controle 6

Un nombre divisible par 9 l'est aussi par 3. Il suffit donc de vérifier la divisibilité par 9.

\(12x5y\) est divisible par 9 \(\iff 1 + 2 + x + 5 + y \equiv 0 \pmod{9}\)

\(\iff x + y + 8 \equiv 0 \pmod{9} \iff x + y \equiv 1 \pmod{9}\)

Comme \(x\) et \(y\) sont des chiffres (\(0 \le x, y \le 9\)), on a \(0 \le x + y \le 18\).

Donc \(x + y = 1\) ou \(x + y = 10\).

Cas 1 : \(x + y = 1\) \(\Rightarrow (x,y) = (0,1)\) ou \((1,0)\).

Cas 2 : \(x + y = 10\) \(\Rightarrow (1,9), (2,8), (3,7), (4,6), (5,5), (6,4), (7,3), (8,2), (9,1)\).

Donc les solutions sont tous les couples \((x,y)\) tels que \(x + y = 1\) ou \(x + y = 10\).

1) \(B = 60 = 2^2 \times 3 \times 5\).

2) \(m \times B = m \times 2^2 \times 3 \times 5\). Pour que ce soit un carré parfait, il faut que tous les exposants soient pairs.

Il manque \(3\) (exposant 1) et \(5\) (exposant 1). Donc \(m = 3 \times 5 = 15\).

3) \(A = 41 \times 2^n + 2^{n+2} = 2^n(41 + 4) = 45 \times 2^n = 3^2 \times 5 \times 2^n\).

4) \(A = 2^n \times 3^2 \times 5\) et \(B = 2^2 \times 3 \times 5\).

\(\text{PGCD}(A,B) = 2^{\min(n,2)} \times 3^{\min(2,1)} \times 5^{\min(1,1)} = 2^{\min(n,2)} \times 3 \times 5\).

\(\text{PPCM}(A,B) = 2^{\max(n,2)} \times 3^{\max(2,1)} \times 5^{\max(1,1)} = 2^{\max(n,2)} \times 3^2 \times 5\).

Cas particuliers :

Si \(n = 0\) : \(A = 45\), \(\text{PGCD}(45,60) = 15\), \(\text{PPCM}(45,60) = 180\).

Si \(n = 1\) : \(A = 90\), \(\text{PGCD}(90,60) = 30\), \(\text{PPCM}(90,60) = 180\).

Si \(n \ge 2\) : \(\text{PGCD}(A,B) = 2^2 \times 3 \times 5 = 60\), \(\text{PPCM}(A,B) = 2^n \times 3^2 \times 5 = A\).

332787 : La somme des chiffres est \(3+3+2+7+8+7 = 30\), divisible par 3, donc 332787 est divisible par 3. Non premier.

607 : \(\sqrt{607} \approx 24,6\). Les nombres premiers ≤ 24 sont : 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23.

607 n'est divisible par aucun de ces nombres. Donc 607 est premier.

331004001 : La somme des chiffres est \(3+3+1+0+0+4+0+0+1 = 12\), divisible par 3. Non premier.

997 : \(\sqrt{997} \approx 31,6\). Les nombres premiers ≤ 31 sont : 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 29, 31.

997 n'est divisible par aucun de ces nombres. Donc 997 est premier.

1) \(n^2 + n = n(n+1)\). Le produit de deux entiers consécutifs est toujours pair.

Donc \(n^2 + n + 3 = \text{pair} + 3 = \text{pair} + \text{impair} = \text{impair}\).

Donc \(n^2 + n + 3\) est toujours impair.

2) a) \(n(n+1)(n+2) = n(n^2 + 3n + 2) = n^3 + 3n^2 + 2n\). C'est vérifié.

b) On étudie les trois cas :

• \(n = 3k\) : \(n(n+1)(n+2) = 3k(3k+1)(3k+2)\) est divisible par 3.

• \(n = 3k+1\) : \(n+2 = 3k+3 = 3(k+1)\), donc le produit est divisible par 3.

• \(n = 3k+2\) : \(n+1 = 3k+3 = 3(k+1)\), donc le produit est divisible par 3.

Donc dans tous les cas, \(n^3 + 3n^2 + 2n\) est un multiple de 3.

1) \((m+n) + (m-n) = 2m\), qui est pair.

Si \(m+n\) et \(m-n\) étaient de parités différentes, leur somme serait impaire, ce qui contredit le fait que \(2m\) est pair.

Donc \(m+n\) et \(m-n\) ont la même parité.

2) \(m^2 - n^2 = (m-n)(m+n) = 96\).

Les diviseurs de 96 sont : 1, 2, 3, 4, 6, 8, 12, 16, 24, 32, 48, 96.

On cherche des couples \((d_1, d_2)\) avec \(d_1 = m-n\), \(d_2 = m+n\), \(d_1 < d_2\), et \(d_1 \times d_2 = 96\).

On a \(m = \frac{d_1+d_2}{2}\) et \(n = \frac{d_2-d_1}{2}\).

Il faut que \(d_1\) et \(d_2\) aient la même parité.

Les couples de diviseurs de 96 avec la même parité :

• (2, 48) : \(m = 25\), \(n = 23\)

• (4, 24) : \(m = 14\), \(n = 10\)

• (6, 16) : \(m = 11\), \(n = 5\)

• (8, 12) : \(m = 10\), \(n = 2\)

Solutions : \((25,23), (14,10), (11,5), (10,2)\).

On a \(\overrightarrow{BD} = 3\overrightarrow{DC}\).

Or \(\overrightarrow{BC} = \overrightarrow{BD} + \overrightarrow{DC} = 3\overrightarrow{DC} + \overrightarrow{DC} = 4\overrightarrow{DC}\).

Donc \(\overrightarrow{DC} = \frac{1}{4}\overrightarrow{BC}\).

Alors \(\overrightarrow{BD} = 3 \times \frac{1}{4}\overrightarrow{BC} = \frac{3}{4}\overrightarrow{BC}\).

Donc \(\overrightarrow{BD} = \frac{3}{4}\overrightarrow{BC}\), les vecteurs sont colinéaires.

Construction : \(D\) est sur le segment \([BC]\) tel que \(BD = \frac{3}{4}BC\).

1) a) \(\overrightarrow{IC} = \overrightarrow{IA} + \overrightarrow{AC} = -\overrightarrow{AI} + \overrightarrow{AC} = -\frac{1}{3}\overrightarrow{AB} + \overrightarrow{AC}\).

b) \(\overrightarrow{BJ} = \overrightarrow{BA} + \overrightarrow{AJ} = -\overrightarrow{AB} + 3\overrightarrow{AC}\).

2) On remarque que \(\overrightarrow{BJ} = -3\overrightarrow{IC}\).

En effet, \(-3\overrightarrow{IC} = -3(-\frac{1}{3}\overrightarrow{AB} + \overrightarrow{AC}) = \overrightarrow{AB} - 3\overrightarrow{AC}\).

Mais \(\overrightarrow{BJ} = -\overrightarrow{AB} + 3\overrightarrow{AC} = -(\overrightarrow{AB} - 3\overrightarrow{AC}) = -3\overrightarrow{IC}\).

Donc \(\overrightarrow{BJ} = -3\overrightarrow{IC}\). Les vecteurs sont colinéaires, donc les droites \((IC)\) et \((BJ)\) sont parallèles.