Conditions d’achèvement
I) FONCTIONS HOMAGRAPHIQUES - TAUX D'ACCROISSEMENT ET VARIATIONS
1) Taux d'accroissement
📌 Définition : Le taux d'accroissement d'une fonction \(f\) entre \(x_1\) et \(x_2\) est :
\[T = \frac{f(x_2) - f(x_1)}{x_2 - x_1}\]
✏️ Propriété : Si \(T > 0\) sur un intervalle, \(f\) est croissante. Si \(T < 0\), \(f\) est décroissante.
📌 Exercice 01 : (5 pts)
Soit \(g\) une fonction telle que :
\[g(x) = \frac{x}{x+1}\]
1) Déterminer \(D_g\). (0.5 pt)
2) Calculer le taux d'accroissement de \(g\) entre \(x_1\) et \(x_2\) avec \(x_1 \ne x_2\). (1 pt)
3) Étudier les variations de \(g\) sur les intervalles \(I = ]-\infty; -1[\) et \(J = ]-1; +\infty[\). (2 pts)
4) Dresser son tableau de variation. (0.5 pt)
5) En déduire une comparaison des nombres :
\(\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2}-1}\) et \(\frac{\sqrt{3}}{\sqrt{3}-1}\). (1 pt)
✅ Corrigé détaillé
1) \(g(x) = \frac{x}{x+1}\) est définie si \(x+1 \ne 0 \iff x \ne -1\).
Donc \(D_g = \mathbb{R} \setminus \{-1\}\).
2) \(T = \frac{g(x_2) - g(x_1)}{x_2 - x_1} = \frac{\frac{x_2}{x_2+1} - \frac{x_1}{x_1+1}}{x_2 - x_1} = \frac{\frac{x_2(x_1+1) - x_1(x_2+1)}{(x_2+1)(x_1+1)}}{x_2 - x_1} = \frac{\frac{x_2x_1 + x_2 - x_1x_2 - x_1}{(x_2+1)(x_1+1)}}{x_2 - x_1} = \frac{\frac{x_2 - x_1}{(x_2+1)(x_1+1)}}{x_2 - x_1} = \frac{1}{(x_1+1)(x_2+1)}\).
Donc \(T = \frac{1}{(x_1+1)(x_2+1)}\).
3) Sur \(I = ]-\infty; -1[\), on a \(x_1 < -1\) et \(x_2 < -1\), donc \(x_1+1 < 0\) et \(x_2+1 < 0\).
Le produit \((x_1+1)(x_2+1) > 0\), donc \(T > 0\).
Donc \(g\) est strictement croissante sur \(]-\infty; -1[\).
Sur \(J = ]-1; +\infty[\), on a \(x_1 > -1\) et \(x_2 > -1\), donc \(x_1+1 > 0\) et \(x_2+1 > 0\).
Le produit \((x_1+1)(x_2+1) > 0\), donc \(T > 0\).
Donc \(g\) est strictement croissante sur \(]-1; +\infty[\).
4) Tableau de variations :
| \(x\) | \(-\infty\) | \(-1\) | \(+\infty\) | ||
| \(g'(x)\) | \(+\) | \(||\) | \(+\) | ||
| \(g(x)\) | \(1\) | \(\nearrow\) | \(||\) | \(\nearrow\) | \(1\) |
5) On remarque que \(\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2}-1} = g(\sqrt{2}-1)\) ?
\(g(\sqrt{2}-1) = \frac{\sqrt{2}-1}{\sqrt{2}} = 1 - \frac{1}{\sqrt{2}}\). Non, ce n'est pas ça.
Posons \(x = \sqrt{x} - 1\) ? En fait, \(\frac{\sqrt{n}}{\sqrt{n}-1} = g(\sqrt{n}-1)\) ?
Non, \(g(x) = \frac{x}{x+1}\). Pour \(x = \sqrt{n} - 1\), on a \(g(\sqrt{n} - 1) = \frac{\sqrt{n} - 1}{\sqrt{n}}\).
Ce n'est pas \(\frac{\sqrt{n}}{\sqrt{n}-1}\).
Mais on peut écrire \(\frac{\sqrt{n}}{\sqrt{n}-1} = 1 + \frac{1}{\sqrt{n}-1}\).
Comme \(g\) est croissante sur \(]-1; +\infty[\) et que \(\sqrt{2}-1 < \sqrt{3}-1\), on a \(g(\sqrt{2}-1) < g(\sqrt{3}-1)\).
Donc \(\frac{\sqrt{2}-1}{\sqrt{2}} < \frac{\sqrt{3}-1}{\sqrt{3}}\).
Soit \(1 - \frac{1}{\sqrt{2}} < 1 - \frac{1}{\sqrt{3}}\), donc \(-\frac{1}{\sqrt{2}} < -\frac{1}{\sqrt{3}}\), ce qui est vrai car \(\frac{1}{\sqrt{2}} > \frac{1}{\sqrt{3}}\).
Donc \(\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2}-1} < \frac{\sqrt{3}}{\sqrt{3}-1}\).
1) Fonction polynôme du second degré
📌 Forme canonique : \(f(x) = a(x - \alpha)^2 + \beta\) avec \(\alpha = -\frac{b}{2a}\) et \(\beta = f(\alpha)\).
Théorème : La courbe d'une fonction polynôme du second degré est une parabole de sommet \(S(\alpha; \beta)\).
📌 Exercice 08 : (14 pts)
On considère les fonctions :
\[f(x) = x^2 - 2x \quad \text{et} \quad g(x) = \frac{x}{x-2}\]
et \((C_f)\) et \((C_g)\) les courbes représentatives des fonctions \(f\) et \(g\).
1) Déterminer l'ensemble de définition des fonctions \(f\) et \(g\). (1 pt)
2) a) Vérifier que : \(f(x) = (x-1)^2 - 1\) pour \(x \in D_f\). (0.5 pt)
b) Vérifier que : \(g(x) = 1 + \frac{2}{x-2}\) pour \(x \in D_g\). (0.5 pt)
3) a) Donner la nature de la courbe de \(f\) et ses éléments caractéristiques. (0.5 pt)
b) Dresser le tableau de variation de \(f\). (1 pt)
4) a) Donner la nature de la courbe de \(g\) et ses éléments caractéristiques. (0.5 pt)
b) Dresser le tableau de variation de \(g\). (1 pt)
5) Déterminer les points d'intersection de \((C_f)\) avec les axes du repère. (0.5 pt)
6) Déterminer les points d'intersection de \((C_g)\) avec les axes du repère. (0.5 pt)
7) Tracer les courbes \((C_f)\) et \((C_g)\) dans le même repère orthonormé. (1 pt)
8) Déterminer algébriquement les points d'intersection de \((C_f)\) et \((C_g)\). (1 pt)
9) Résoudre graphiquement l'inéquation \(f(x) \le g(x)\). (0.5 pt)
10) Soit \(h\) la fonction définie par : \(h(x) = \frac{|x|}{|x|-2}\).
a) Déterminer l'ensemble de définition \(D_h\). (0.5 pt)
b) Montrer que la fonction \(h\) est paire. (0.5 pt)
c) Vérifier que \(h(x) = g(x)\) pour tout \(x \in \mathbb{R}^+ \setminus \{2\}\). (0.5 pt)
11) Tracer la courbe \((C_h)\) de \(h\) et \((C_g)\) dans un même repère. (0.5 pt)
12) Soit \(K\) la fonction définie par : \(K(x) = |f(x)|\).
a) Tracer la courbe \((C_K)\) de \(K\) dans le même repère. (1 pt)
b) Discuter suivant les valeurs du paramètre réel \(m\), le nombre de solutions de l'équation \(K(x) = m\). (1 pt)
✅ Corrigé détaillé
1) \(f(x) = x^2 - 2x\) est une fonction polynôme, donc \(D_f = \mathbb{R}\).
\(g(x) = \frac{x}{x-2}\) est définie si \(x-2 \ne 0 \iff x \ne 2\). Donc \(D_g = \mathbb{R} \setminus \{2\}\).
2) a) \((x-1)^2 - 1 = x^2 - 2x + 1 - 1 = x^2 - 2x = f(x)\).
b) \(1 + \frac{2}{x-2} = \frac{x-2+2}{x-2} = \frac{x}{x-2} = g(x)\).
3) a) \((C_f)\) est une parabole de sommet \(S(1; -1)\), tournée vers le haut (car \(a = 1 > 0\)).
b) Tableau de variations de \(f\) :
| \(x\) | \(-\infty\) | \(1\) | \(+\infty\) | ||
| \(f'(x)\) | \(-\) | \(0\) | \(+\) | ||
| \(f(x)\) | \(+\infty\) | \(\searrow\) | \(-1\) | \(\nearrow\) | \(+\infty\) |
4) a) \((C_g)\) est une hyperbole de centre \(I(2; 1)\) (car \(g(x) = 1 + \frac{2}{x-2}\)).
Les asymptotes sont les droites \(x = 2\) et \(y = 1\).
b) Tableau de variations de \(g\) :
| \(x\) | \(-\infty\) | \(2\) | \(+\infty\) | ||
| \(g'(x)\) | \(-\) | \(||\) | \(-\) | ||
| \(g(x)\) | \(1\) | \(\searrow\) | \(||\) | \(\searrow\) | \(1\) |
5) Intersection avec l'axe des ordonnées : \(f(0) = 0\), donc \(O(0; 0)\).
Intersection avec l'axe des abscisses : \(f(x) = 0 \iff x(x-2) = 0 \iff x = 0\) ou \(x = 2\).
Points : \(O(0; 0)\) et \(A(2; 0)\).
6) Intersection avec l'axe des ordonnées : \(g(0) = 0\), donc \(O(0; 0)\).
Intersection avec l'axe des abscisses : \(g(x) = 0 \iff x = 0\), donc \(O(0; 0)\).
Seul point : \(O(0; 0)\).
7) Tracer la parabole \((C_f)\) de sommet \(S(1; -1)\) passant par \(O(0; 0)\) et \(A(2; 0)\).
Tracer l'hyperbole \((C_g)\) avec les asymptotes \(x = 2\) et \(y = 1\), passant par \(O(0; 0)\).
8) \(f(x) = g(x) \iff x^2 - 2x = \frac{x}{x-2}\).
\(x^2 - 2x = \frac{x}{x-2} \iff (x^2 - 2x)(x-2) = x \iff x(x-2)^2 = x \iff x[(x-2)^2 - 1] = 0\).
\(x = 0\) ou \((x-2)^2 - 1 = 0 \iff (x-2)^2 = 1 \iff x-2 = \pm 1 \iff x = 1\) ou \(x = 3\).
Points d'intersection : \(O(0; 0)\), \(B(1; -1)\) et \(C(3; 3)\).
9) Graphiquement, \(f(x) \le g(x)\) sur \(]-\infty; 0] \cup [1; 2[ \cup [3; +\infty[\).
10) a) \(h(x) = \frac{|x|}{|x|-2}\) est définie si \(|x| - 2 \ne 0 \iff |x| \ne 2 \iff x \ne \pm 2\).
Donc \(D_h = \mathbb{R} \setminus \{-2; 2\}\).
b) \(h(-x) = \frac{|-x|}{|-x|-2} = \frac{|x|}{|x|-2} = h(x)\).
Donc \(h\) est paire.
c) Pour \(x \ge 0\), \(|x| = x\), donc \(h(x) = \frac{x}{x-2} = g(x)\).
11) La courbe \((C_h)\) est la courbe \((C_g)\) pour \(x > 0\) symétrisée par rapport à l'axe des ordonnées pour \(x < 0\).
12) a) La courbe \((C_K)\) est la courbe \((C_f)\) où les parties négatives (entre 0 et 2) sont symétrisées par rapport à l'axe des abscisses.
b) \(K(x) = |f(x)| = |x^2 - 2x| = |x(x-2)|\).
Le minimum de \(K\) est 0 (atteint en \(x = 0\) et \(x = 2\)).
Le maximum local est 1 (atteint en \(x = 1\)).
• Si \(m < 0\) : 0 solution.
• Si \(m = 0\) : 2 solutions (\(x = 0\) et \(x = 2\)).
• Si \(0 < m < 1\) : 4 solutions.
• Si \(m = 1\) : 3 solutions (\(x = 1\) et deux autres).
• Si \(m > 1\) : 2 solutions.