Conditions d’achèvement
I) HOMOTHÉTIE - RAPPORTS DE DISTANCES, PÉRIMÈTRES ET AIRES
1) Homothétie
📌 Définition : L'homothétie de centre \(O\) et de rapport \(k\) associe à tout point \(M\) le point \(M'\) tel que \(\overrightarrow{OM'} = k\overrightarrow{OM}\).
✏️ Propriétés :
• Les distances sont multipliées par \(|k|\).
• Les aires sont multipliées par \(k^2\).
• Une homothétie transforme une figure en une figure semblable.
• Les distances sont multipliées par \(|k|\).
• Les aires sont multipliées par \(k^2\).
• Une homothétie transforme une figure en une figure semblable.
📌 Exercice 01 : (4 pts)
\(ABC\) est un triangle équilatéral. \(M\), \(N\) et \(P\) sont les milieux des segments \([AB]\), \([AC]\) et \([BC]\).
\(I\) est le point d'intersection des médianes \((AP)\), \((BN)\) et \((CM)\).
\(A'\), \(B'\) et \(C'\) sont respectivement les images des points \(A\), \(B\) et \(C\) par l'homothétie \(h\) de centre \(I\) et de rapport \(k = \frac{1}{2}\).
1) Faire une figure et montrer que \(\frac{AB}{A'B'} = 2\). Montrer que le triangle \(A'B'C'\) est équilatéral. (1 pt)
2) Montrer que \(\frac{L}{L'} = 2\), sachant que \(L\) est le périmètre de \(ABC\) et \(L'\) celui de \(A'B'C'\). (1 pt)
3) Montrer que \(\frac{S}{S'} = 4\), sachant que \(S\) est l'aire de \(ABC\) et \(S'\) celle de \(A'B'C'\). (2 pts)
✅ Corrigé détaillé
1) Figure : Tracer un triangle équilatéral \(ABC\). Placer les milieux \(M\), \(N\), \(P\). Les médianes se coupent en \(I\).
L'homothétie de centre \(I\) et de rapport \(k = \frac{1}{2}\) transforme \(A\) en \(A'\), \(B\) en \(B'\), \(C\) en \(C'\).
On a \(A'B' = |k| \times AB = \frac{1}{2}AB\). Donc \(\frac{AB}{A'B'} = 2\).
L'homothétie transforme le triangle équilatéral \(ABC\) en un triangle \(A'B'C'\) qui lui est semblable. Donc \(A'B'C'\) est équilatéral.
2) \(L = AB + BC + CA\) et \(L' = A'B' + B'C' + C'A'\).
Comme chaque côté de \(A'B'C'\) est la moitié du côté correspondant de \(ABC\), on a \(L' = \frac{1}{2}L\).
Donc \(\frac{L}{L'} = 2\).
3) L'aire d'une figure est multipliée par \(k^2\) sous une homothétie de rapport \(k\).
Donc \(S' = k^2 \times S = \left(\frac{1}{2}\right)^2 \times S = \frac{1}{4}S\).
Donc \(\frac{S}{S'} = 4\).
II) PRODUIT SCALAIRE DANS UN LOSANGE
1) Propriétés du losange
📌 Définition : Un losange est un quadrilatère dont les quatre côtés sont égaux.
✏️ Propriétés :
• Les diagonales sont perpendiculaires et se coupent en leur milieu.
• Les diagonales sont les bissectrices des angles.
• Les diagonales sont perpendiculaires et se coupent en leur milieu.
• Les diagonales sont les bissectrices des angles.
📌 Exercice 02 : (6 pts)
\(ABCD\) est un losange de centre \(O\) tel que \(OA = 4\) et \(OD = 3\).
Calculer les produits scalaires suivants :
1) \(\overrightarrow{AC} \cdot \overrightarrow{AD}\). (1.5 pts)
2) \(\overrightarrow{BO} \cdot \overrightarrow{BC}\). (1.5 pts)
3) \(\overrightarrow{AB} \cdot \overrightarrow{DC}\). (1.5 pts)
4) \(\overrightarrow{BC} \cdot \overrightarrow{BD}\). (1.5 pts)
✅ Corrigé détaillé
Dans le losange \(ABCD\), \(O\) est le centre. Les diagonales sont perpendiculaires et se coupent en leur milieu.
\(OA = 4\), \(OD = 3\), donc \(AC = 8\) et \(BD = 6\).
1) \(\overrightarrow{AC} \cdot \overrightarrow{AD}\).
\(\overrightarrow{AC} = 2\overrightarrow{AO}\) et \(\overrightarrow{AD} = \overrightarrow{AO} + \overrightarrow{OD}\).
\(\overrightarrow{AC} \cdot \overrightarrow{AD} = 2\overrightarrow{AO} \cdot (\overrightarrow{AO} + \overrightarrow{OD}) = 2(AO^2 + \overrightarrow{AO} \cdot \overrightarrow{OD})\).
Les diagonales sont perpendiculaires, donc \(\overrightarrow{AO} \cdot \overrightarrow{OD} = 0\).
Donc \(\overrightarrow{AC} \cdot \overrightarrow{AD} = 2 \times 16 = 32\).
2) \(\overrightarrow{BO} \cdot \overrightarrow{BC}\).
\(\overrightarrow{BO} = \frac{1}{2}\overrightarrow{BD}\) et \(\overrightarrow{BC} = \overrightarrow{BO} + \overrightarrow{OC}\).
\(\overrightarrow{BO} \cdot \overrightarrow{BC} = \overrightarrow{BO} \cdot (\overrightarrow{BO} + \overrightarrow{OC}) = BO^2 + \overrightarrow{BO} \cdot \overrightarrow{OC}\).
Les diagonales sont perpendiculaires, donc \(\overrightarrow{BO} \cdot \overrightarrow{OC} = 0\).
\(BO = 3\), donc \(\overrightarrow{BO} \cdot \overrightarrow{BC} = 9\).
3) \(\overrightarrow{AB} \cdot \overrightarrow{DC}\).
\(\overrightarrow{DC} = -\overrightarrow{AB}\) (côtés opposés du losange).
Donc \(\overrightarrow{AB} \cdot \overrightarrow{DC} = -\overrightarrow{AB} \cdot \overrightarrow{AB} = -AB^2\).
\(AB^2 = OA^2 + OB^2 = 16 + 9 = 25\).
Donc \(\overrightarrow{AB} \cdot \overrightarrow{DC} = -25\).
4) \(\overrightarrow{BC} \cdot \overrightarrow{BD}\).
\(\overrightarrow{BC} = \overrightarrow{BO} + \overrightarrow{OC}\) et \(\overrightarrow{BD} = 2\overrightarrow{BO}\).
\(\overrightarrow{BC} \cdot \overrightarrow{BD} = (\overrightarrow{BO} + \overrightarrow{OC}) \cdot 2\overrightarrow{BO} = 2BO^2 + 2\overrightarrow{OC} \cdot \overrightarrow{BO}\).
Les diagonales sont perpendiculaires, donc \(\overrightarrow{OC} \cdot \overrightarrow{BO} = 0\).
Donc \(\overrightarrow{BC} \cdot \overrightarrow{BD} = 2 \times 9 = 18\).
📌 Exercice 03 : (4 pts)
Soit \(ABCD\) un quadrilatère tel que \(AB = AD\) et \(CD = CB\).
1) Montrer que les droites \((AC)\) et \((BD)\) sont perpendiculaires. (1 pt)
2) En déduire que \(\overrightarrow{AB} \cdot \overrightarrow{AC} = \overrightarrow{AD} \cdot \overrightarrow{AC}\). (1 pt)
3) Dans cette question, on prend \(AB = AD = 3\text{ cm}\) et \(\widehat{BAD} = \frac{\pi}{4}\).
a) Calculer \(BD\). (1 pt)
b) En déduire \(\sin\left(\frac{\pi}{8}\right)\). (1 pt)
✅ Corrigé détaillé
1) \(AB = AD\) signifie que \(A\) est sur la médiatrice de \([BD]\).
\(CB = CD\) signifie que \(C\) est sur la médiatrice de \([BD]\).
Donc \((AC)\) est la médiatrice de \([BD]\).
Donc \((AC) \perp (BD)\).
2) \(\overrightarrow{AB} \cdot \overrightarrow{AC} - \overrightarrow{AD} \cdot \overrightarrow{AC} = (\overrightarrow{AB} - \overrightarrow{AD}) \cdot \overrightarrow{AC} = \overrightarrow{DB} \cdot \overrightarrow{AC}\).
Comme \((AC) \perp (BD)\), on a \(\overrightarrow{DB} \cdot \overrightarrow{AC} = 0\).
Donc \(\overrightarrow{AB} \cdot \overrightarrow{AC} = \overrightarrow{AD} \cdot \overrightarrow{AC}\).
3) a) D'après la formule d'Al-Kashi dans le triangle \(ABD\) :
\(BD^2 = AB^2 + AD^2 - 2 \times AB \times AD \times \cos(\widehat{BAD}) = 9 + 9 - 2 \times 3 \times 3 \times \frac{\sqrt{2}}{2} = 18 - 9\sqrt{2}\).
Donc \(BD = \sqrt{18 - 9\sqrt{2}}\).
b) Dans le triangle \(ABD\), la médiane issue de \(A\) est aussi hauteur (car \(AB = AD\)).
\(\sin\left(\frac{\pi}{8}\right) = \sin\left(\frac{\widehat{BAD}}{2}\right) = \frac{BD/2}{AB}\).
\(\sin\left(\frac{\pi}{8}\right) = \frac{BD}{2 \times AB} = \frac{\sqrt{18 - 9\sqrt{2}}}{6}\).
II) ENSEMBLES DE POINTS - CERCLE
1) Cercle de diamètre
📌 Théorème : L'ensemble des points \(M\) tels que \(\overrightarrow{MA} \cdot \overrightarrow{MB} = 0\) est le cercle de diamètre \([AB]\).
Théorème : \(\overrightarrow{MA} \cdot \overrightarrow{MB} = \text{constante}\) est un cercle.
📌 Exercice 04 : (3 pts)
Soient \(A\) et \(B\) deux points distincts du plan tels que \(AB = 4\).
1) Déterminer et représenter l'ensemble \((E)\) des points \(M\) du plan tels que \(\overrightarrow{AM} \cdot \overrightarrow{BM} = 0\). (1.5 pts)
2) Déterminer et représenter l'ensemble \((F)\) des points \(M\) du plan tels que \(\overrightarrow{MA} \cdot \overrightarrow{MB} = \frac{9}{4}\). (1.5 pts)
✅ Corrigé détaillé
1) \(\overrightarrow{AM} \cdot \overrightarrow{BM} = 0 \iff \overrightarrow{MA} \cdot \overrightarrow{MB} = 0\).
L'ensemble des points \(M\) tels que \(\overrightarrow{MA} \cdot \overrightarrow{MB} = 0\) est le cercle de diamètre \([AB]\).
Donc \((E)\) est le cercle de centre \(O\) milieu de \([AB]\) et de rayon \(r = \frac{AB}{2} = 2\).
2) Soit \(O\) le milieu de \([AB]\).
\(\overrightarrow{MA} \cdot \overrightarrow{MB} = (\overrightarrow{MO} + \overrightarrow{OA}) \cdot (\overrightarrow{MO} + \overrightarrow{OB}) = MO^2 + \overrightarrow{MO} \cdot (\overrightarrow{OA} + \overrightarrow{OB}) + \overrightarrow{OA} \cdot \overrightarrow{OB}\).
\(\overrightarrow{OA} + \overrightarrow{OB} = \vec{0}\) et \(\overrightarrow{OA} \cdot \overrightarrow{OB} = -OA^2 = -4\).
Donc \(\overrightarrow{MA} \cdot \overrightarrow{MB} = MO^2 - 4\).
L'équation devient \(MO^2 - 4 = \frac{9}{4} \iff MO^2 = \frac{25}{4} \iff MO = \frac{5}{2}\).
Donc \((F)\) est le cercle de centre \(O\) et de rayon \(\frac{5}{2}\).
IV) INTERSECTION DE PLANS DANS UN CUBE
1) Intersection de plans
📌 Définition : L'intersection de deux plans sécants est une droite.
✏️ Propriété : Pour déterminer l'intersection de deux plans, on cherche deux points communs à ces deux plans.
📌 Exercice 05 : (3 pts)
Soit \(ABCDEFGH\) un cube de l'espace.
1) Déterminer la droite \((\Delta)\) d'intersection des plans \((ACH)\) et \((BDF)\). (1.5 pts)
2) Soient \(I\) et \(J\) les centres des carrés \(EFGH\) et \(ABFE\) respectivement.
Déterminer la droite \((\Delta')\) d'intersection des plans \((LIE)\) et \((ADH)\). (1.5 pts)
✅ Corrigé détaillé
Soit le cube \(ABCDEFGH\) avec \(A(0,0,0)\), \(B(1,0,0)\), \(C(1,1,0)\), \(D(0,1,0)\), \(E(0,0,1)\), \(F(1,0,1)\), \(G(1,1,1)\), \(H(0,1,1)\).
1) Plan \((ACH)\) : contient \(A(0,0,0)\), \(C(1,1,0)\), \(H(0,1,1)\).
Plan \((BDF)\) : contient \(B(1,0,0)\), \(D(0,1,0)\), \(F(1,0,1)\).
Les points communs : le centre du cube \(O\left(\frac{1}{2}; \frac{1}{2}; \frac{1}{2}\right)\) appartient aux deux plans.
Un autre point commun ? Les diagonales \((AG)\) et \((CE)\) se coupent en \(O\).
Le point d'intersection des diagonales \((AC)\) et \((BD)\) est le milieu de \([AC]\) qui est \(\left(\frac{1}{2}; \frac{1}{2}; 0\right)\).
Ce point appartient à \((ACH)\) mais pas à \((BDF)\).
En fait, les deux plans se coupent selon la droite \((OO')\) où \(O'\) est le centre du carré \(ABCD\).
Donc \((\Delta) = (OO')\) où \(O\) est le centre du cube et \(O'\) le centre de la face \(ABCD\).
2) \(I\) est le centre du carré \(EFGH\) : \(I(0.5; 0.5; 1)\).
\(J\) est le centre du carré \(ABFE\) : \(J(0.5; 0; 0.5)\).
Plan \((LIE)\) : il manque la définition de \(L\).
Plan \((ADH)\) : contient \(A(0,0,0)\), \(D(0,1,0)\), \(H(0,1,1)\).
L'intersection est une droite passant par les points communs aux deux plans.