I) RÉSOLUTION D'ÉQUATIONS DANS \(\mathbb{R}\)

1) Équations avec valeur absolue

📌 Définition : \(|x| = a \iff x = a\) ou \(x = -a\) pour \(a \ge 0\).
✏️ Propriété : \(|A| = |B| \iff A = B\) ou \(A = -B\).

📌 Exercice 01 : (3.5 pts)

1) \(x + 3 = -x\sqrt{2} - \sqrt{18}\) (0.5 pt)
2) \(3(2x + 5) = 6x - 1\) (0.5 pt)
3) \(4(x - 2) = 6x - 2(x + 4)\) (0.5 pt)
4) \(\frac{(x - 7)(x + 3)}{x^2 - 9} = 0\) (0.5 pt)
5) \(|3x + 2| = |x - 4|\) (0.5 pt)
6) \(3|x + 5| = -\frac{1}{2}\) (0.5 pt)
✅ Corrigé détaillé

1) \(x + 3 = -x\sqrt{2} - 3\sqrt{2} \iff x + x\sqrt{2} = -3 - 3\sqrt{2}\).

\(x(1+\sqrt{2}) = -3(1+\sqrt{2}) \Rightarrow x = -3\).

2) \(6x + 15 = 6x - 1 \iff 15 = -1\). Impossible. \(S = \emptyset\).

3) \(4x - 8 = 6x - 2x - 8 \iff 4x - 8 = 4x - 8\). Tous les réels sont solutions. \(S = \mathbb{R}\).

4) \(\frac{(x-7)(x+3)}{x^2-9} = 0\), avec \(x \ne \pm 3\).

\((x-7)(x+3) = 0 \Rightarrow x = 7\) ou \(x = -3\) (exclu car \(x \ne -3\)).

\(S = \{7\}\).

5) \(|3x+2| = |x-4| \iff 3x+2 = x-4\) ou \(3x+2 = -(x-4)\).

\(3x+2 = x-4 \Rightarrow 2x = -6 \Rightarrow x = -3\).

\(3x+2 = -x+4 \Rightarrow 4x = 2 \Rightarrow x = \frac{1}{2}\).

\(S = \{-3; \frac{1}{2}\}\).

6) \(3|x+5| = -\frac{1}{2}\). Le membre de gauche est positif ou nul, le membre de droite est négatif. \(S = \emptyset\).

📌 Exercice 02 : (3 pts)

1) a) Résoudre dans \(\mathbb{R}\) l'équation \(4x^2 - 7x - 2 = 0\). (1.5 pts)
b) En déduire une factorisation du trinôme \(4x^2 - 7x - 2\). (0.5 pt)
2) En déduire les solutions des équations suivantes :
a) \(4x - 7\sqrt{x} - 2 = 0\) (0.5 pt)
b) \(4x^4 - 7x^2 - 2 = 0\) (0.5 pt)
c) \(4x^4 - 7x^3 = 2x^2\) (0.5 pt)
✅ Corrigé détaillé

1) a) \(4x^2 - 7x - 2 = 0\). \(\Delta = 49 + 32 = 81\).

\(x_1 = \frac{7-9}{8} = -\frac{1}{4}\), \(x_2 = \frac{7+9}{8} = 2\).

b) \(4x^2 - 7x - 2 = 4(x+\frac{1}{4})(x-2) = (4x+1)(x-2)\).

2) a) Posons \(t = \sqrt{x} \ge 0\). L'équation devient \(4t^2 - 7t - 2 = 0\).

\(t = 2\) ou \(t = -\frac{1}{4}\) (rejeté). Donc \(\sqrt{x} = 2 \Rightarrow x = 4\).

b) Posons \(t = x^2 \ge 0\). L'équation devient \(4t^2 - 7t - 2 = 0\).

\(t = 2\) ou \(t = -\frac{1}{4}\) (rejeté). Donc \(x^2 = 2 \Rightarrow x = \pm \sqrt{2}\).

c) \(4x^4 - 7x^3 - 2x^2 = 0 \iff x^2(4x^2 - 7x - 2) = 0\).

\(x^2 = 0 \Rightarrow x = 0\) ou \(4x^2 - 7x - 2 = 0 \Rightarrow x = -\frac{1}{4}\) ou \(x = 2\).

\(S = \{0; -\frac{1}{4}; 2\}\).

📌 Exercice 03 : (2.5 pts)

1) \(\frac{2x + 1}{x + 2} \ge 3\) (1.5 pts)
2) \(4x^2 - 7x - 2 > 0\) (1 pt)
✅ Corrigé détaillé

1) \(\frac{2x+1}{x+2} \ge 3 \iff \frac{2x+1}{x+2} - 3 \ge 0 \iff \frac{2x+1 - 3x - 6}{x+2} \ge 0 \iff \frac{-x-5}{x+2} \ge 0\).

Tableau de signes :

\(x\) \(-\infty\)   \(-5\)   \(-2\)   \(+\infty\)
\(-x-5\) \(+\)   \(0\)   \(+\)   \(-\)
\(x+2\) \(-\)   \(-\)   \(0\)   \(+\)
\(\frac{-x-5}{x+2}\) \(-\)   \(0\)   \(||\)   \(-\)

\(S = [-5; -2[\).

2) \(4x^2 - 7x - 2 > 0 \iff (4x+1)(x-2) > 0\).

Tableau de signes :

\(x\) \(-\infty\)   \(-\frac{1}{4}\)   \(2\)   \(+\infty\)
\(4x+1\) \(-\)   \(0\)   \(+\)   \(+\)
\(x-2\) \(-\)   \(-\)   \(0\)   \(+\)
\((4x+1)(x-2)\) \(+\)   \(0\)   \(0\)   \(+\)

\(S = ]-\infty; -\frac{1}{4}[ \cup ]2; +\infty[\).

II) RELATIONS DE VIÈTE

📌 Exercice 04 : (3.5 pts)

Soit le trinôme \(T(x) = -2x^2 + \sqrt{2}x + 2\).

1) Prouver que le trinôme admet deux racines distinctes \(\alpha\) et \(\beta\) sans les calculer. (0.5 pt)
2) Déduire les valeurs suivantes :
\(\alpha + \beta\) ; \(\alpha \times \beta\) ; \(\frac{1}{\alpha} + \frac{1}{\beta}\) ; \(\alpha^2 + \beta^2\) ; \(\frac{\beta}{\alpha} + \frac{\alpha}{\beta}\) ; \(\alpha^3 + \beta^3\). (3 pts)
✅ Corrigé détaillé

1) \(a = -2\), \(b = \sqrt{2}\), \(c = 2\).

\(\Delta = b^2 - 4ac = 2 - 4(-2)(2) = 2 + 16 = 18 > 0\).

Donc le trinôme admet deux racines distinctes.

2) \(\alpha + \beta = -\frac{b}{a} = -\frac{\sqrt{2}}{-2} = \frac{\sqrt{2}}{2}\).

\(\alpha \times \beta = \frac{c}{a} = \frac{2}{-2} = -1\).

\(\frac{1}{\alpha} + \frac{1}{\beta} = \frac{\alpha + \beta}{\alpha\beta} = \frac{\frac{\sqrt{2}}{2}}{-1} = -\frac{\sqrt{2}}{2}\).

\(\alpha^2 + \beta^2 = (\alpha+\beta)^2 - 2\alpha\beta = \frac{1}{2} - 2(-1) = \frac{1}{2} + 2 = \frac{5}{2}\).

\(\frac{\beta}{\alpha} + \frac{\alpha}{\beta} = \frac{\alpha^2 + \beta^2}{\alpha\beta} = \frac{\frac{5}{2}}{-1} = -\frac{5}{2}\).

\(\alpha^3 + \beta^3 = (\alpha+\beta)^3 - 3\alpha\beta(\alpha+\beta) = \left(\frac{\sqrt{2}}{2}\right)^3 - 3(-1)\left(\frac{\sqrt{2}}{2}\right) = \frac{2\sqrt{2}}{8} + \frac{3\sqrt{2}}{2} = \frac{\sqrt{2}}{4} + \frac{6\sqrt{2}}{4} = \frac{7\sqrt{2}}{4}\).

 III) SYSTÈMES NON LINÉAIRES

📌 Exercice 05 : (2 pts)

Résoudre dans \(\mathbb{R}^2\) le système suivant :
\[ \begin{cases} 2\sqrt{x} + \sqrt{y} = 6 \\ -3\sqrt{x} + 5\sqrt{y} = 17 \end{cases} \]
✅ Corrigé détaillé

Posons \(X = \sqrt{x} \ge 0\) et \(Y = \sqrt{y} \ge 0\).

Le système devient : \( \begin{cases} 2X + Y = 6 \\ -3X + 5Y = 17 \end{cases} \).

De la première équation : \(Y = 6 - 2X\).

En remplaçant : \(-3X + 5(6-2X) = 17 \Rightarrow -3X + 30 - 10X = 17 \Rightarrow -13X = -13 \Rightarrow X = 1\).

\(Y = 6 - 2(1) = 4\).

Donc \(\sqrt{x} = 1 \Rightarrow x = 1\) et \(\sqrt{y} = 4 \Rightarrow y = 16\).

\(S = \{(1; 16)\}\).

 IV) FACTORISATION ET RÉSOLUTION D'ÉQUATIONS POLYNOMIALES

📌 Exercice 06 : (3.5 pts)

On considère l'équation \((E) : 6x^3 + 25x^2 + 21x - 10 = 0\).

1) Montrer que le nombre -2 est solution de \((E)\). (0.5 pt)
2) Déterminer trois réels \(a, b, c\) tels que :
\(6x^3 + 25x^2 + 21x - 10 = (x+2)(ax^2 + bx + c)\). (1 pt)
3) Résoudre dans \(\mathbb{R}\) l'équation \((E)\). (1 pt)
4) Résoudre dans \(\mathbb{R}\) l'inéquation \((I) : 6x^3 + 25x^2 + 21x - 10 > 0\). (1 pt)
✅ Corrigé détaillé

1) \(P(-2) = 6(-8) + 25(4) + 21(-2) - 10 = -48 + 100 - 42 - 10 = 0\).

Donc -2 est solution.

2) Par division polynomiale ou identification :

\((x+2)(ax^2 + bx + c) = ax^3 + (2a+b)x^2 + (2b+c)x + 2c\).

Identification : \(a = 6\), \(2a+b = 25 \Rightarrow b = 13\), \(2b+c = 21 \Rightarrow c = -5\), \(2c = -10 \Rightarrow c = -5\).

Donc \(P(x) = (x+2)(6x^2 + 13x - 5)\).

3) \(P(x) = 0 \iff (x+2)(6x^2 + 13x - 5) = 0\).

\(x+2 = 0 \Rightarrow x = -2\).

\(6x^2 + 13x - 5 = 0\). \(\Delta = 169 + 120 = 289 = 17^2\).

\(x = \frac{-13 \pm 17}{12} \Rightarrow x = \frac{1}{3}\) ou \(x = -\frac{5}{2}\).

\(S = \{-2; -\frac{5}{2}; \frac{1}{3}\}\).

4) \(P(x) > 0 \iff (x+2)(6x^2 + 13x - 5) > 0\).

Le trinôme \(6x^2 + 13x - 5\) a pour racines \(-\frac{5}{2}\) et \(\frac{1}{3}\), et \(a = 6 > 0\), donc il est positif à l'extérieur des racines.

Tableau de signes :

\(x\) \(-\infty\)   \(-\frac{5}{2}\)   \(-2\)   \(\frac{1}{3}\)   \(+\infty\)
\(x+2\) \(-\)   \(-\)   \(0\)   \(+\)   \(+\)
\(6x^2+13x-5\) \(+\)   \(0\)   \(-\)   \(0\)   \(+\)
\(P(x)\) \(-\)   \(0\)   \(0\)   \(0\)   \(+\)

\(S = ]-\frac{5}{2}; -2[ \cup ]\frac{1}{3}; +\infty[\).

V) RELATIONS TRIGONOMÉTRIQUES

1) Relations fondamentales

📌 Définition : \(\tan x = \frac{\sin x}{\cos x}\) et \(\sin^2 x + \cos^2 x = 1\).
✏️ Propriété : \(1 + \tan^2 x = \frac{1}{\cos^2 x}\).

📌 Exercice 07 : (2 pts)

On a : \(\tan x = \frac{1}{3}\) et \(\frac{\pi}{2} < x < \pi\).

1) Calculer \(\cos x\). (1 pt)
2) Calculer \(\sin x\). (1 pt)
✅ Corrigé détaillé

1) \(1 + \tan^2 x = \frac{1}{\cos^2 x} \Rightarrow 1 + \frac{1}{9} = \frac{1}{\cos^2 x} \Rightarrow \frac{10}{9} = \frac{1}{\cos^2 x} \Rightarrow \cos^2 x = \frac{9}{10}\).

\(\frac{\pi}{2} < x < \pi\), donc \(\cos x < 0\).

Donc \(\cos x = -\frac{3}{\sqrt{10}} = -\frac{3\sqrt{10}}{10}\).

2) \(\sin x = \tan x \times \cos x = \frac{1}{3} \times \left(-\frac{3}{\sqrt{10}}\right) = -\frac{1}{\sqrt{10}}\).

\(\frac{\pi}{2} < x < \pi\), donc \(\sin x > 0\).

Donc \(\sin x = \frac{1}{\sqrt{10}} = \frac{\sqrt{10}}{10}\).

Donc \(\sin x = \frac{\sqrt{10}}{10}\).


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"C'est en forgeant que l'on devient forgeron."