Conditions d’achèvement
📌 Exercice1 :
Étudier la parité des fonctions suivantes : (1.5 pts)
1) \( f(x) = \frac{x^2 - 1}{x} \)
2) \( f(x) = x^2 + \frac{1}{x} \)
3) \( f(x) = \frac{|x|}{x^2 - 1} \)
4) \( f(x) = \sqrt{1 - x^2} \)
5) \( f(x) = \frac{2x^3}{x^2 + 5} \)
6) \( f(x) = |x| - \sqrt{2x^2 + 4} \)
7) \( f(x) = \frac{\sqrt{x}}{2} \)
✅ Corrigé détaillé
1) \( f(x) = \frac{x^2 - 1}{x} = x - \frac{1}{x} \).
\( f(-x) = \frac{(-x)^2 - 1}{-x} = -\frac{x^2 - 1}{x} = -f(x) \). Impaire.
2) \( f(x) = x^2 + \frac{1}{x} \).
\( f(-x) = x^2 - \frac{1}{x} \ne f(x) \) et \( \ne -f(x) \). Ni paire ni impaire.
3) \( f(x) = \frac{|x|}{x^2 - 1} \).
\( f(-x) = \frac{|-x|}{(-x)^2 - 1} = \frac{|x|}{x^2 - 1} = f(x) \). Paire.
4) \( f(x) = \sqrt{1 - x^2} \), \( D_f = [-1;1] \).
\( f(-x) = \sqrt{1 - (-x)^2} = \sqrt{1 - x^2} = f(x) \). Paire.
5) \( f(x) = \frac{2x^3}{x^2 + 5} \).
\( f(-x) = \frac{2(-x)^3}{(-x)^2 + 5} = -\frac{2x^3}{x^2 + 5} = -f(x) \). Impaire.
6) \( f(x) = |x| - \sqrt{2x^2 + 4} \).
\( f(-x) = |-x| - \sqrt{2(-x)^2 + 4} = |x| - \sqrt{2x^2 + 4} = f(x) \). Paire.
7) \( f(x) = \frac{\sqrt{x}}{2} \), \( D_f = [0;+\infty[ \).
\( D_f \) n'est pas symétrique par rapport à 0. Ni paire ni impaire.
📌 Exercice2:
Soit \( f \) une fonction telle que : \( f(x) = 3x^2 + 2 \).
1) Déterminer \( D_f \). (0.25 pt)
2) Calculer le taux d'accroissement de \( f \) entre \( x_1 \) et \( x_2 \) avec \( x_1 \ne x_2 \). (0.75 pt)
3) Étudier les variations de \( f \) sur les intervalles \( [0;+\infty[ \) et \( ]-\infty;0] \). (1 pt)
4) Dresser le tableau de variation de \( f \). (0.5 pt)
✅ Corrigé détaillé
1) \( f \) est un polynôme. \( D_f = \mathbb{R} \).
2) \( T = \frac{f(x_1) - f(x_2)}{x_1 - x_2} = \frac{(3x_1^2 + 2) - (3x_2^2 + 2)}{x_1 - x_2} = \frac{3(x_1^2 - x_2^2)}{x_1 - x_2} = 3(x_1 + x_2) \).
3) Sur \( [0;+\infty[ \), \( x_1+x_2 \ge 0 \), donc \( T \ge 0 \). \( f \) est croissante.
Sur \( ]-\infty;0] \), \( x_1+x_2 \le 0 \), donc \( T \le 0 \). \( f \) est décroissante.
4) Tableau de variations :
| \(x\) | \(-\infty\) | \(0\) | \(+\infty\) | ||
| \(f'(x)\) | \(-\) | \(0\) | \(+\) | ||
| \(f(x)\) | \(+\infty\) | \(\searrow\) | \(2\) | \(\nearrow\) | \(+\infty\) |
📌 Exercice:3
Soit \( g \) une fonction telle que : \( g(x) = \frac{x}{x+1} \).
1) Déterminer \( D_g \). (0.25 pt)
2) Calculer le taux d'accroissement de \( g \) entre \( x_1 \) et \( x_2 \) avec \( x_1 \ne x_2 \). (0.75 pt)
3) Étudier les variations de \( g \) sur les intervalles \( I = ]-\infty; -1[ \) et \( J = ]-1; +\infty[ \). (1 pt)
4) Dresser le tableau de variation de \( g \). (0.5 pt)
✅ Corrigé détaillé
1) \( D_g = \mathbb{R} \setminus \{-1\} \).
2) \( T = \frac{\frac{x_1}{x_1+1} - \frac{x_2}{x_2+1}}{x_1 - x_2} = \frac{x_1(x_2+1) - x_2(x_1+1)}{(x_1+1)(x_2+1)(x_1-x_2)} = \frac{x_1-x_2}{(x_1+1)(x_2+1)(x_1-x_2)} = \frac{1}{(x_1+1)(x_2+1)} \).
3) Sur \( ]-\infty;-1[ \), \( (x_1+1)(x_2+1) > 0 \), donc \( T > 0 \). \( g \) est croissante.
Sur \( ]-1;+\infty[ \), \( (x_1+1)(x_2+1) > 0 \), donc \( T > 0 \). \( g \) est croissante.
4) Tableau de variations :
| \(x\) | \(-\infty\) | \(-1\) | \(+\infty\) | ||
| \(g'(x)\) | \(+\) | \(||\) | \(+\) | ||
| \(g(x)\) | \(1\) | \(\nearrow\) | \(||\) | \(\nearrow\) | \(1\) |
📌 Exercice4:
Soit \( f \) une fonction telle que : \( f(x) = x + \frac{1}{x} \).
1) Déterminer \( D_f \) et étudier la parité de \( f \). (0.5 pt)
2) Calculer le taux d'accroissement \( T(x_1;x_2) \) de \( f \) entre \( x_1 \) et \( x_2 \). (1 pt)
3) Étudier les variations de \( f \) sur \( I = ]0;1] \) puis sur \( J = [1;+\infty[ \). (1 pt)
4) En déduire les variations de \( f \) sur \( D_f \). (0.5 pt)
5) Dresser le tableau de variations de \( f \). (0.5 pt)
✅ Corrigé détaillé
1) \( D_f = \mathbb{R}^* \).
\( f(-x) = -x - \frac{1}{x} = -f(x) \). \( f \) est impaire.
2) \( T = \frac{(x_1 + \frac{1}{x_1}) - (x_2 + \frac{1}{x_2})}{x_1 - x_2} = \frac{x_1-x_2 + \frac{x_2-x_1}{x_1x_2}}{x_1-x_2} = 1 - \frac{1}{x_1x_2} = \frac{x_1x_2 - 1}{x_1x_2} \).
3) Sur \( ]0;1] \), \( x_1x_2 < 1 \), donc \( T < 0 \). \( f \) est décroissante.
Sur \( [1;+\infty[ \), \( x_1x_2 > 1 \), donc \( T > 0 \). \( f \) est croissante.
4) Comme \( f \) est impaire, sur \( ]-\infty;-1] \) elle est croissante et sur \( [-1;0[ \) elle est décroissante.
5) Tableau de variations :
| \(x\) | \(-\infty\) | \(-1\) | \(0\) | \(1\) | \(+\infty\) | ||||
| \(f'(x)\) | \(+\) | \(0\) | \(-\) | \(||\) | \(-\) | \(0\) | \(+\) | ||
| \(f(x)\) | \(-\infty\) | \(\nearrow\) | \(-2\) | \(\searrow\) | \(||\) | \(\searrow\) | \(2\) | \(\nearrow\) | \(+\infty\) |
📌 Exercice5:
Soit \( f \) une fonction numérique telle que :
\[f(x) = -4x^2 + 4x + 5\]
1) a) Montrer que \( f(x) = 6 - (2x - 1)^2 \) pour tout \( x \in \mathbb{R} \). (1 pt)
b) Montrer que \( f(x) \le 6 \) pour tout \( x \in \mathbb{R} \). (0.5 pt)
2) Calculer \( f\left(\frac{1}{2}\right) \) et en déduire les extremums de \( f \) sur \( \mathbb{R} \). (0.5 pt)
✅ Corrigé détaillé
1) a) \( 6 - (2x-1)^2 = 6 - (4x^2 - 4x + 1) = 6 - 4x^2 + 4x - 1 = -4x^2 + 4x + 5 = f(x) \).
b) Pour tout \( x \in \mathbb{R} \), \( (2x-1)^2 \ge 0 \), donc \( - (2x-1)^2 \le 0 \).
Donc \( f(x) = 6 - (2x-1)^2 \le 6 \).
2) \( f\left(\frac{1}{2}\right) = 6 - (2 \times \frac{1}{2} - 1)^2 = 6 - 0 = 6 \).
\( f(x) \le 6 \) et \( f\left(\frac{1}{2}\right) = 6 \).
Donc \( f \) admet un maximum en \( x = \frac{1}{2} \) qui vaut 6.
📌 Exercice6:
Soit \( f \) une fonction numérique telle que :
\[f(x) = 2x^2 - 4x - 2\]
et \((C_f)\) sa courbe représentative dans le repère \((O; \vec{i}; \vec{j})\).
1) Déterminer \( D_f \). (0.25 pt)
2) Déterminer \( \alpha \) et \( \beta \) tels que :
\( f(x) = 2(x - \alpha)^2 + \beta \) pour tout \( x \in \mathbb{R} \). (0.75 pt)
3) Déterminer le tableau de variations de \( f \). (0.5 pt)
4) Tracer la courbe représentative \((C_f)\) dans le repère. (1 pt)
✅ Corrigé détaillé
1) \( f \) est un polynôme. \( D_f = \mathbb{R} \).
2) \( f(x) = 2(x^2 - 2x) - 2 = 2[(x-1)^2 - 1] - 2 = 2(x-1)^2 - 2 - 2 = 2(x-1)^2 - 4 \).
Donc \( \alpha = 1 \) et \( \beta = -4 \).
3) Tableau de variations :
| \(x\) | \(-\infty\) | \(1\) | \(+\infty\) | ||
| \(f'(x)\) | \(-\) | \(0\) | \(+\) | ||
| \(f(x)\) | \(+\infty\) | \(\searrow\) | \(-4\) | \(\nearrow\) | \(+\infty\) |
4) Parabole de sommet \( S(1;-4) \), tournée vers le haut. Points : \( (0;-2) \), \( (2;-2) \).
📌 Exercice7:
Soit \( g \) une fonction numérique telle que :
\[g(x) = -\frac{1}{2}x^2 + 2x + 1\]
et \((C_g)\) sa courbe représentative dans le repère \((O; \vec{i}; \vec{j})\).
1) Déterminer \( D_g \). (0.25 pt)
2) Déterminer \( \alpha \) et \( \beta \) tels que :
\( g(x) = -\frac{1}{2}(x - \alpha)^2 + \beta \) pour tout \( x \in \mathbb{R} \). (0.75 pt)
3) Déterminer le tableau de variations de \( g \). (0.5 pt)
4) Tracer la courbe représentative \((C_g)\) dans le repère. (1 pt)
✅ Corrigé détaillé
1) \( g \) est un polynôme. \( D_g = \mathbb{R} \).
2) \( g(x) = -\frac{1}{2}(x^2 - 4x) + 1 = -\frac{1}{2}[(x-2)^2 - 4] + 1 = -\frac{1}{2}(x-2)^2 + 2 + 1 = -\frac{1}{2}(x-2)^2 + 3 \).
Donc \( \alpha = 2 \) et \( \beta = 3 \).
3) Tableau de variations :
| \(x\) | \(-\infty\) | \(2\) | \(+\infty\) | ||
| \(g'(x)\) | \(+\) | \(0\) | \(-\) | ||
| \(g(x)\) | \(-\infty\) | \(\nearrow\) | \(3\) | \(\searrow\) | \(-\infty\) |
4) Parabole de sommet \( S(2;3) \), tournée vers le bas. Points : \( (0;1) \), \( (4;1) \).