Conditions d’achèvement
📌 Exercice1:
Le plan est muni d'un repère orthonormé \((O, \vec{i}, \vec{j})\).
Soit la fonction affine \(f\) telle que : \(f(x) = \frac{1}{2}x + \frac{5}{2}\).
La droite \((D)\) est la courbe représentative de \(f\).
Soit les points : \(A(-3; 1)\), \(B(1; 3)\), \(C(3; -1)\).
1. a) Vérifier que \((D)\) passe par \(A\) et \(B\). (0.5 pt)
b) Résoudre l'équation \(f(x) = 0\) et donner une interprétation géométrique du résultat. (0.5 pt)
c) Dresser le tableau de signes de \(f(x)\). (0.5 pt)
2. Soit \(g\) la fonction affine dont la courbe est la droite \((\Delta)\) passant par \(B\) et perpendiculaire à la droite \((D)\).
a) Déterminer l'expression de \(g\). (1 pt)
b) Vérifier que \((\Delta)\) passe par le point \(C\). (0.5 pt)
3. Soit \(h\) la fonction dont la représentation graphique est la droite \((\Pi)\) passant par les points \(A\) et \(C\).
a) Déterminer l'expression de \(h\). (0.75 pt)
b) Vérifier que \((\Pi)\) passe par l'origine du repère. (0.25 pt)
4. a) Tracer les droites \((D)\), \((\Delta)\), \((\Pi)\) et les points \(A\), \(B\), \(C\). (1 pt)
b) Calculer les distances \(BA\), \(BC\) et \(AC\). (0.75 pt)
c) Déterminer la nature du triangle \(ABC\). (0.5 pt)
d) Déterminer \(S\) la surface du triangle \(ABC\). (0.5 pt)
5. Soit \((T)\) le cercle circonscrit du triangle \(ABC\).
Déterminer le rayon \(R\) et les coordonnées de \(\Omega\) centre du cercle \((T)\). (1 pt)
✅ Corrigé détaillé
1. a) \(f(-3) = \frac{1}{2}(-3) + \frac{5}{2} = -\frac{3}{2} + \frac{5}{2} = 1\). Donc \(A \in (D)\).
\(f(1) = \frac{1}{2} + \frac{5}{2} = 3\). Donc \(B \in (D)\).
b) \(f(x) = 0 \iff \frac{1}{2}x + \frac{5}{2} = 0 \iff x + 5 = 0 \iff x = -5\).
Interprétation : Le point d'intersection de \((D)\) avec l'axe des abscisses est \((-5; 0)\).
c) Tableau de signes :
| \(x\) | \(-\infty\) | \(-5\) | \(+\infty\) | ||
| \(f(x)\) | \(-\) | \(0\) | \(+\) |
2. a) Le coefficient directeur de \((D)\) est \(m = \frac{1}{2}\).
La droite \((\Delta) \perp (D)\) a pour coefficient directeur \(m' = -\frac{1}{m} = -2\).
\((\Delta)\) passe par \(B(1; 3)\) : \(3 = -2(1) + p \Rightarrow p = 5\).
\(g(x) = -2x + 5\).
b) \(g(3) = -2(3) + 5 = -6 + 5 = -1\). Donc \(C(3; -1) \in (\Delta)\).
3. a) Droite passant par \(A(-3;1)\) et \(C(3;-1)\).
\(m = \frac{-1-1}{3-(-3)} = \frac{-2}{6} = -\frac{1}{3}\).
\(h(x) = -\frac{1}{3}x + p\). Avec \(C\) : \(-1 = -\frac{1}{3}(3) + p \Rightarrow -1 = -1 + p \Rightarrow p = 0\).
\(h(x) = -\frac{1}{3}x\).
b) \(h(0) = 0\), donc \((\Pi)\) passe par l'origine.
4. a) Tracer les trois droites dans le repère.
b) \(BA = \sqrt{(1+3)^2 + (3-1)^2} = \sqrt{16+4} = \sqrt{20} = 2\sqrt{5}\).
\(BC = \sqrt{(3-1)^2 + (-1-3)^2} = \sqrt{4+16} = \sqrt{20} = 2\sqrt{5}\).
\(AC = \sqrt{(3+3)^2 + (-1-1)^2} = \sqrt{36+4} = \sqrt{40} = 2\sqrt{10}\).
c) \(BA = BC\), donc le triangle \(ABC\) est isocèle en B.
De plus, \(BA^2 + BC^2 = 20 + 20 = 40 = AC^2\).
Donc \(ABC\) est rectangle et isocèle en B.
d) \(S = \frac{BA \times BC}{2} = \frac{2\sqrt{5} \times 2\sqrt{5}}{2} = \frac{20}{2} = 10\) unités d'aire.
5) Le cercle circonscrit à un triangle rectangle a pour diamètre l'hypoténuse.
L'hypoténuse est \(AC\). Le centre est le milieu de \([AC]\).
\(\Omega\left(\frac{-3+3}{2}; \frac{1+(-1)}{2}\right) = (0; 0)\).
Rayon \(R = \frac{AC}{2} = \frac{2\sqrt{10}}{2} = \sqrt{10}\).
📌 Exercice2:
Soient \(f\) et \(g\) les fonctions définies par :
\[f(x) = 2x - 4 \quad \text{et} \quad g(x) = 2x^2 - 6x + 2\]
1. a) Déterminer \(D_f\). (0.25 pt)
b) Déterminer la nature de \((C_f)\). (0.25 pt)
c) Résoudre l'équation \(f(x) = 0\) et donner une interprétation géométrique des résultats. (0.5 pt)
2. a) Calculer \(g\left(\frac{3}{2}\right)\), \(g(0)\), \(g(-1)\). (0.75 pt)
b) Dresser le tableau de variations de \(g\). (0.75 pt)
3. Donner la nature de \((C_g)\) et déterminer ses éléments caractéristiques. (0.75 pt)
4. a) Vérifier que \(f(1) = -2 = g(1)\). (0.25 pt)
b) Résoudre l'équation \(g(x) = f(x)\). (0.75 pt)
c) En déduire les points d'intersection des courbes \((C_f)\) et \((C_g)\). (0.5 pt)
5. Déterminer \(x_1\) et \(x_2\) les abscisses des points d'intersection de \((C_g)\) avec \((Ox)\) (\(x_1 < x_2\)). (0.75 pt)
6. Construire \((C_f)\) et \((C_g)\) dans un repère orthonormé. (1 pt)
7. Résoudre graphiquement l'inéquation \(g(x) \le f(x)\). (0.5 pt)
✅ Corrigé détaillé
1. a) \(f\) est une fonction affine. \(D_f = \mathbb{R}\).
b) \((C_f)\) est une droite.
c) \(f(x) = 0 \iff 2x - 4 = 0 \iff x = 2\).
Interprétation : \((C_f)\) coupe l'axe des abscisses en \((2;0)\).
2. a) \(g\left(\frac{3}{2}\right) = 2\left(\frac{9}{4}\right) - 6\left(\frac{3}{2}\right) + 2 = \frac{9}{2} - 9 + 2 = \frac{9}{2} - 7 = -\frac{5}{2}\).
\(g(0) = 2\).
\(g(-1) = 2 + 6 + 2 = 10\).
b) \(g(x) = 2x^2 - 6x + 2\). Sommet en \(x = \frac{6}{4} = \frac{3}{2}\).
\(g\left(\frac{3}{2}\right) = -\frac{5}{2}\).
| \(x\) | \(-\infty\) | \(\frac{3}{2}\) | \(+\infty\) | ||
| \(g'(x)\) | \(-\) | \(0\) | \(+\) | ||
| \(g(x)\) | \(+\infty\) | \(\searrow\) | \(-\frac{5}{2}\) | \(\nearrow\) | \(+\infty\) |
3) \((C_g)\) est une parabole de sommet \(S\left(\frac{3}{2}; -\frac{5}{2}\right)\), tournée vers le haut.
4. a) \(f(1) = 2 - 4 = -2\). \(g(1) = 2 - 6 + 2 = -2\).
b) \(g(x) = f(x) \iff 2x^2 - 6x + 2 = 2x - 4 \iff 2x^2 - 8x + 6 = 0 \iff x^2 - 4x + 3 = 0\).
\((x-1)(x-3) = 0 \Rightarrow x = 1\) ou \(x = 3\).
c) Points d'intersection : \((1; -2)\) et \((3; 2)\).
5) \(g(x) = 0 \iff 2x^2 - 6x + 2 = 0 \iff x^2 - 3x + 1 = 0\).
\(\Delta = 9 - 4 = 5\). \(x_1 = \frac{3 - \sqrt{5}}{2}\), \(x_2 = \frac{3 + \sqrt{5}}{2}\).
6) Tracer la droite et la parabole.
7) \(g(x) \le f(x) \iff x \in [1; 3]\).
📌 Exercice3:
Soient \(f\) et \(g\) les fonctions définies par :
\[f(x) = -2x - 3 \quad \text{et} \quad g(x) = \frac{2x + 3}{x + 2}\]
1. a) Déterminer \(D_f\). (0.25 pt)
b) Déterminer la nature de \((C_f)\). (0.25 pt)
c) Résoudre l'équation \(f(x) = 1\). (0.5 pt)
2. a) Calculer \(g(-4)\), \(g(-3)\), \(g(-1)\), \(g(0)\). (0.5 pt)
b) Dresser le tableau de variations de \(g\). (0.75 pt)
3. Donner la nature de \((C_g)\) et déterminer ses éléments caractéristiques. (0.75 pt)
4. a) Résoudre l'équation \(g(x) = f(x)\). (0.75 pt)
b) En déduire les points d'intersection des courbes \((C_f)\) et \((C_g)\). (0.5 pt)
5. Construire \((C_f)\) et \((C_g)\) dans un repère orthonormé. (1 pt)
6. Résoudre graphiquement l'inéquation \(g(x) \le f(x)\). (0.5 pt)
✅ Corrigé détaillé
1. a) \(f\) est une fonction affine. \(D_f = \mathbb{R}\).
b) \((C_f)\) est une droite.
c) \(f(x) = 1 \iff -2x - 3 = 1 \iff -2x = 4 \iff x = -2\).
2. a) \(g(-4) = \frac{-8+3}{-4+2} = \frac{-5}{-2} = \frac{5}{2}\).
\(g(-3) = \frac{-6+3}{-3+2} = \frac{-3}{-1} = 3\).
\(g(-1) = \frac{-2+3}{-1+2} = \frac{1}{1} = 1\).
\(g(0) = \frac{3}{2}\).
b) \(g(x) = \frac{2x+3}{x+2} = 2 - \frac{1}{x+2}\). Hyperbole de centre \(I(-2; 2)\).
| \(x\) | \(-\infty\) | \(-2\) | \(+\infty\) | ||
| \(g'(x)\) | \(+\) | \(||\) | \(+\) | ||
| \(g(x)\) | \(2\) | \(\nearrow\) | \(||\) | \(\nearrow\) | \(2\) |
3) \((C_g)\) est une hyperbole de centre \(I(-2; 2)\).
Asymptotes : \(x = -2\) et \(y = 2\).
4. a) \(g(x) = f(x) \iff \frac{2x+3}{x+2} = -2x - 3\).
\(2x+3 = (-2x-3)(x+2) = -2x^2 - 4x - 3x - 6 = -2x^2 - 7x - 6\).
\(2x^2 + 9x + 9 = 0\). \(\Delta = 81 - 72 = 9\).
\(x = \frac{-9 \pm 3}{4} \Rightarrow x = -3\) ou \(x = -\frac{3}{2}\).
b) Points : \((-3; 3)\) et \((-\frac{3}{2}; 0)\).
5) Tracer la droite et l'hyperbole.
6) \(g(x) \le f(x) \iff x \in [-3; -2] \cup [-\frac{3}{2}; +\infty[\).