Conditions d’achèvement
- I. Proposition – Fonction propositionnelle
- II. Quantificateurs
- III. Opérations sur les propositions
- 3-1. Négation d'une proposition
- 3-2. Disjonction de deux propositions
- 3-3. Conjonction de deux propositions
- 3-4. Implication de deux propositions
- 3-5. Condition suffisante – condition nécessaire
- 3-6. Équivalence de deux propositions
❶ I) PROPOSITION – FONCTION PROPOSITIONNELLE
1) Proposition (ou assertion)
📌 Définition : Une proposition est un énoncé mathématique qui a une seule signification : soit vrai, soit faux ; il ne peut pas être vrai et faux en même temps.
🔹 Exemple : La phrase « Les nombres positifs sont des entiers naturels » est-elle une proposition ?
Non, car elle est fausse (les réels positifs ne sont pas tous entiers). Elle a une valeur de vérité bien définie.
Non, car elle est fausse (les réels positifs ne sont pas tous entiers). Elle a une valeur de vérité bien définie.
✏️ Applications : Déterminer la valeur de vérité des propositions suivantes :
- \( P : \frac{\pi}{2} \in \mathbb{Q} \) → Faux (\(\pi/2\) est irrationnel)
- \( Q : \left( \sqrt{\frac{3+\sqrt{5}}{2}} - \sqrt{\frac{3-\sqrt{5}}{2}} \right)^2 = 1 \) → Vrai
- \( R : \cos \frac{\pi}{7} > 1 \) → Faux (cos ≤ 1)
- \( S : \) Les solutions de \( 2018x^2 - 2017x - 1 = 0 \) sont \(1\) et \(-\frac{1}{2018}\) → Vrai
2) Fonction propositionnelle (prédicat)
📌 Définition : Une fonction propositionnelle est un énoncé mathématique contenant une variable \(x\) appartenant à un ensemble \(E\), qui devient une proposition lorsqu'on remplace \(x\) par un élément déterminé de \(E\).
🔹 Exemple : \( P(x; y) : \langle (x; y) \in \mathbb{R}^2 ;\; 2x - 3y = 7 \rangle \)
L'ensemble des valeurs pour lesquelles \(P(x; y)\) est vraie est l'ensemble des couples \((x; y)\) vérifiant \(2x - 3y = 7\).
L'ensemble des valeurs pour lesquelles \(P(x; y)\) est vraie est l'ensemble des couples \((x; y)\) vérifiant \(2x - 3y = 7\).
✏️ Applications : Déterminer l'ensemble des réels \(S\) pour que chaque fonction propositionnelle soit vraie :
- \( A(x) : 3x^2 - 2x - 65 = 0 \) → \( S = \{5; -\frac{13}{3}\} \)
- \( B(x) : 5x^2 - 2\sqrt{15}x + 3 = 0 \) → \( S = \{\frac{\sqrt{15}}{5}\} \) (racine double)
- \( C(x) : x^3 - 6x + 7 = 0 \) → pas de racine simple à exprimer ici
- \( D(x) : -x^2 + x + 6 \geq 0 \) → \( S = [-2; 3] \)
- \( P(x) : (2\sin x - 1)\cos x = 0 \) → \( x = \frac{\pi}{6} + 2k\pi \), \( x = \frac{5\pi}{6} + 2k\pi \), \( x = \frac{\pi}{2} + k\pi \)
❷ II) QUANTIFICATEURS
1) Quantificateur existentiel \(\exists\)
📌 Définition : La proposition \( \langle \exists x \in E \rangle ; P(x) \) se lit « il existe au moins un \(x\) dans \(E\) tel que \(P(x)\) ».
Elle est vraie s'il existe au moins un élément de \(E\) qui vérifie \(P(x)\).
Elle est vraie s'il existe au moins un élément de \(E\) qui vérifie \(P(x)\).
2) Quantificateur universel \(\forall\)
📌 Définition : La proposition \( \langle \forall x \in E \rangle ; P(x) \) se lit « pour tout \(x\) dans \(E\), \(P(x)\) ».
Elle est vraie si tous les éléments de \(E\) vérifient \(P(x)\).
Elle est vraie si tous les éléments de \(E\) vérifient \(P(x)\).
✏️ Remarques :
- La lettre \(x\) est une variable muette : on peut la remplacer par \(y\) ou \(z\) sans changer le sens.
- Le symbole \(\exists !\) signifie « il existe un unique ».
- L'ordre des quantificateurs est fondamental : \(\forall x \exists y\) est différent de \(\exists y \forall x\).
- Deux quantificateurs identiques (deux \(\forall\) ou deux \(\exists\)) peuvent être échangés sans changer le sens.
🔹 Applications : Déterminer la valeur de vérité des propositions suivantes :
- \( Q_1 : (\exists x \in \mathbb{R})\; x^2 + x + 1 = 0 \) → Faux (discriminant < 0)
- \( Q_2 : (\exists x \in \mathbb{R})\; x^2 + x + \frac{1}{2} > 0 \) → Vrai
- \( Q_3 : (\exists x \in \mathbb{N})\; \sqrt{x^2+3} = 2x-4 \) → Vrai (pour \(x=3\) par ex.)
- \( Q_4 : (\exists x \in \mathbb{R})\; (\forall y \in \mathbb{R})\; x \leq y \) → Faux (aucun réel n'est inférieur à tous)
- \( Q_5 : (\exists x \in \mathbb{R}^*)\; (\forall y \in \mathbb{Z}^*)\; x^y = 1 \) → Vrai (pour \(x=1\))
- \( Q_6 : (\forall x \in \mathbb{R})\; (\exists y \in \mathbb{R})\; x \leq y \) → Vrai (prendre \(y = x+1\))
- \( Q_7 : (\forall x \in \mathbb{R})\; (\forall y \in \mathbb{R})\; x^2 y^2 > xy \) → Faux (pour \(x=y=1\), \(1 = 1\))
❸ III) OPÉRATIONS SUR LES PROPOSITIONS
3-1) Négation d'une proposition
📌 Définition : La négation de \(P\), notée \(\overline{P}\) ou \(\neg P\), est une proposition vraie si \(P\) est fausse et fausse si \(P\) est vraie.
| \(P\) | \(\overline{P}\) |
|---|---|
| V | F |
| F | V |
✏️ Règles de négation : \[ \neg(\forall x \in E)\; P(x) \iff (\exists x \in E)\; \neg P(x) \] \[ \neg(\exists x \in E)\; P(x) \iff (\forall x \in E)\; \neg P(x) \]
🔹 Raisonnement par contre-exemple : Pour montrer que \(\neg(\forall x) P(x)\) est fausse, il suffit de montrer que \((\exists x) \neg P(x)\) est vraie.
Applications : Montrer que les propositions suivantes sont fausses :
Applications : Montrer que les propositions suivantes sont fausses :
- \( P_1 : (\forall x \in \mathbb{R}^*)\; x + \sqrt{x} \geq 2 \) → Contre-exemple : \(x=1/4\)
- \( P_2 : (\forall x \in \mathbb{R})(\forall y \in \mathbb{R})\; 2x - 4y \neq 5 \) → Contre-exemple : \(x=0, y=-5/4\)
- \( P_3 : (\forall x \in \mathbb{R}^*)\; x + \frac{1}{x} \geq 2 \) → Contre-exemple : \(x=-1\)
3-2) Disjonction de deux propositions \((P \text{ ou } Q)\)
📌 Définition : La disjonction est fausse seulement si \(P\) et \(Q\) sont toutes les deux fausses.
| \(P\) | \(Q\) | \(P \text{ ou } Q\) |
|---|---|---|
| V | V | V |
| V | F | V |
| F | V | V |
| F | F | F |
✏️ Remarques :
- La disjonction est commutative : \((P \text{ ou } Q) \iff (Q \text{ ou } P)\).
- La disjonction est associative : \((P \text{ ou } Q) \text{ ou } R \iff P \text{ ou } (Q \text{ ou } R)\).
🔹 Application : Soient \(P_1 : \langle \Delta_1 \geq 0 \rangle\) et \(P_2 : \langle \Delta_2 \geq 0 \rangle\) avec \(a, b \geq 4\).
On peut montrer que \((P_1 \text{ ou } P_2)\) est vraie car \(\Delta_1 + \Delta_2 \geq 0\).
On peut montrer que \((P_1 \text{ ou } P_2)\) est vraie car \(\Delta_1 + \Delta_2 \geq 0\).
3-3) Conjonction de deux propositions \((P \text{ et } Q)\)
📌 Définition : La conjonction est vraie seulement si \(P\) et \(Q\) sont toutes les deux vraies.
| \(P\) | \(Q\) | \(P \text{ et } Q\) |
|---|---|---|
| V | V | V |
| V | F | F |
| F | V | F |
| F | F | F |
✏️ Remarques :
- La conjonction est commutative et associative.
- La conjonction est distributive par rapport à la disjonction : \(P \text{ et } (Q \text{ ou } R) \iff (P \text{ et } Q) \text{ ou } (P \text{ et } R)\).
🔹 Applications :
- Résoudre \((y = 3x - 1 \text{ et } x^2 - x = 0)\) → solutions \((0; -1)\) et \((1; 2)\).
- En utilisant la distributivité, résoudre : \[ \begin{cases} x^2 - y^2 = 0 \\ 2x^2 + y^2 = 3 \end{cases} \iff (x = y \text{ ou } x = -y) \text{ et } 2x^2 + y^2 = 3 \]
3-4) Implication de deux propositions \((P \Rightarrow Q)\)
📌 Définition : L'implication est fausse seulement si \(P\) est vraie et \(Q\) est fausse.
| \(P\) | \(Q\) | \(P \Rightarrow Q\) |
|---|---|---|
| V | V | V |
| V | F | F |
| F | V | V |
| F | F | V |
🔹 Applications :
- \( P_1 : \) « 13 est premier » ⇒ « 56 est divisible par 13 » → Faux (13 est premier, mais 56 n'est pas divisible par 13)
- \( P_2 : \) « 47 est premier » ⇒ « 47 est impair » → Vrai
- Montrer que \((|a| < 1 \text{ et } |b| < 1) \Rightarrow |a+b| < |1+ab|\)
3-5) Condition suffisante – condition nécessaire
📌 Vocabulaire : Dans \(P \Rightarrow Q\) :
- \(P\) est une condition suffisante pour \(Q\) (il suffit que \(P\) soit vraie pour que \(Q\) le soit).
- \(Q\) est une condition nécessaire pour \(P\) (si \(P\) est vraie, alors \(Q\) l'est nécessairement).
✏️ Proposition : \[ [(\forall x \in E)\; A(x) \Rightarrow B(x)] \Rightarrow [((\forall x \in E)\; A(x)) \Rightarrow ((\forall x \in E)\; B(x))] \] \[ [(\exists x \in E)(\forall y \in F)\; A(x; y)] \Rightarrow [(\forall y \in F)(\exists x \in E)\; A(x; y)] \]
3-6) Équivalence de deux propositions \((P \Leftrightarrow Q)\)
📌 Définition : \(P \Leftrightarrow Q\) est vraie lorsque \(P\) et \(Q\) ont la même valeur de vérité (simultanément vraies ou simultanément fausses).
| \(P\) | \(Q\) | \(P \Leftrightarrow Q\) |
|---|---|---|
| V | V | V |
| V | F | F |
| F | V | F |
| F | F | V |
✏️ Remarques :
- L'équivalence est commutative : \((P \Leftrightarrow Q) \iff (Q \Leftrightarrow P)\).
- L'équivalence est transitive : \([(P \Leftrightarrow Q) \text{ et } (Q \Leftrightarrow R)] \Rightarrow (P \Leftrightarrow R)\).
- En pratique, on n'utilise les symboles \(\Rightarrow\) et \(\Leftrightarrow\) que dans les résolutions d'équations ou d'inéquations. Dans une rédaction, on préfère les mots français.
🔹 Généralisation : Pour montrer \(P \Leftrightarrow Q\), on peut utiliser :
- Raisonnement par double implication : on montre \(P \Rightarrow Q\) puis \(Q \Rightarrow P\).
- Raisonnement par équivalences successives : on enchaîne \(P \Leftrightarrow R_1 \Leftrightarrow R_2 \Leftrightarrow \dots \Leftrightarrow Q\).
⚠️ Attention : La proposition suivante est fausse : \[ [(\exists x \in E)\; A(x) \text{ et } B(x)] \iff [((\exists x \in E)\; A(x)) \text{ et } ((\exists x \in E)\; B(x))] \]
Contre-exemple : \(P : (\exists x \in \mathbb{R})\; \cos x = 0\) et \((\exists x \in \mathbb{R})\; \sin x = 0\) est vraie (prendre \(x = \pi/2\) et \(x=0\)).
Mais \(Q : (\exists x \in \mathbb{R})\; \cos x = 0 \text{ et } \sin x = 0\) est fausse car \(\cos^2 x + \sin^2 x = 1\).
❶ 5-1) LOI LOGIQUE OU TAUTOLOGIE
Définition
📌 Définition : Une loi logique (ou tautologie) est une proposition composée qui est toujours vraie, quelle que soit la valeur de vérité des propositions qui la composent.
🔹 Exemples de tautologies :
- \( P \Rightarrow (Q \Rightarrow P) \)
- \( P \Rightarrow (\overline{P} \Rightarrow Q) \)
- \( (\overline{Q} \text{ ou } P) \text{ ou } (Q \text{ ou } \overline{P}) \)
- \( (P \Leftrightarrow Q) \Leftrightarrow [(P \text{ et } Q) \text{ ou } (\overline{P} \text{ et } \overline{Q})] \)
✏️ Méthode : Pour montrer qu'une proposition est une tautologie, on utilise une table de vérité ou on applique des lois logiques pour la simplifier jusqu'à obtenir \(V\) (vrai).
❷ 5-2) LOIS DE MORGAN
Proposition
📌 Lois de Morgan : Pour toutes propositions \(P\) et \(Q\) :
\[ \overline{P \text{ et } Q} \iff \overline{P} \text{ ou } \overline{Q} \]
\[ \overline{P \text{ ou } Q} \iff \overline{P} \text{ et } \overline{Q} \]
🔹 Application : Déterminer la négation des propositions suivantes :
- \( P : (\exists x \in \mathbb{R})\; 0 \leq x < 1 \)
\( \overline{P} : (\forall x \in \mathbb{R})\; (x < 0 \text{ ou } x \geq 1) \) - \( Q : (\forall x \in \mathbb{R})\; (x^2 = 1 \Rightarrow x = 1) \)
\( \overline{Q} : (\exists x \in \mathbb{R})\; (x^2 = 1 \text{ et } x \neq 1) \) - \( R : (\forall a \in \mathbb{R})\; (|a+1| \leq 2 \Rightarrow a \geq -3) \)
\( \overline{R} : (\exists a \in \mathbb{R})\; (|a+1| \leq 2 \text{ et } a < -3) \)
❸ 5-3) RAISONNEMENT PAR CONTRAPOSÉE
Proposition
📌 Contraposée : L'implication \( P \Rightarrow Q \) est équivalente à sa contraposée \( \overline{Q} \Rightarrow \overline{P} \).
\[ (P \Rightarrow Q) \iff (\overline{Q} \Rightarrow \overline{P}) \]
✏️ Remarques :
- La négation de \(P \Rightarrow Q\) est \(P \text{ et } \overline{Q}\).
- La réciproque de \(P \Rightarrow Q\) est \(Q \Rightarrow P\).
- La contraposée est utilisée quand elle est plus facile à prouver que l'implication directe.
🔹 Applications : En utilisant la contraposée, montrer :
- \( (\forall x \in [-1; +\infty[)\; (x \neq 0 \Rightarrow \sqrt{1+x} \neq 1 + \frac{x}{2}) \)
- \( (\forall x \in \mathbb{R})\; (x^2 \neq 3 \Rightarrow \frac{2}{\sqrt{1+x^2}} \neq 1) \)
- \( (\forall (x; y) \in \mathbb{R}^2)\; (4y \neq -3x \Rightarrow x - y \neq 7(x + y)) \)
- \( (\forall (x; y) \in \mathbb{R}^2)\; (x^2 + y^2 \leq 1 \Rightarrow |x + y| \leq 2) \)
❹ 5-4) RAISONNEMENT PAR L'ABSURDE
Principe
📌 Principe : Pour montrer qu'une proposition \(P\) est vraie, on suppose que \(P\) est fausse (c'est-à-dire \(\overline{P}\) vraie) et on aboutit à une contradiction (une proposition toujours fausse).
🔹 Applications :
- Soient \(a, b, c > 0\) avec \(ab < c\). Montrer que \(a < \sqrt{c}\) ou \(b < \sqrt{c}\).
Supposons \(a \geq \sqrt{c}\) et \(b \geq \sqrt{c}\), alors \(ab \geq c\), contradiction. - Montrer par l'absurde que \((\forall n \in \mathbb{N})\; \sqrt{4n+2} \notin \mathbb{N}\).
Supposons \(\sqrt{4n+2} \in \mathbb{N}\), alors \(4n+2 = p^2\) est pair, donc \(p\) est pair, alors \(p^2\) est multiple de 4, mais \(4n+2\) n'est pas multiple de 4, contradiction. - Soit \(f\) définie sur \(\mathbb{R}^*\) telle que \(f(xy) = f(x)f(y)\) et \(f(1) \neq 0\). Montrer que \((\forall x \in \mathbb{R}^*)\; f(x) \neq 0\).
Supposons \(f(a) = 0\) pour un certain \(a\), alors \(f(1) = f(a \cdot \frac{1}{a}) = f(a)f(\frac{1}{a}) = 0\), contradiction.
❺ 5-5) RAISONNEMENT PAR DISJONCTION DES CAS
Proposition
📌 Loi logique :
\[ [(P \Rightarrow R) \text{ et } (Q \Rightarrow R)] \iff [(P \text{ ou } Q) \Rightarrow R] \]
🔹 Applications :
- Résoudre dans \(\mathbb{R}\) :
- \( |x^2 - 4| - x^2 > 0 \) → Cas \(x \in ]-\infty; -2] \cup [2; +\infty[\) et cas \(x \in ]-2; 2[\).
- \( |2x - 1| + |2x + 1| + |x| \geq 4 \) → Étudier sur \(]-\infty; -\frac12[\), \([-\frac12; 0[\), \([0; \frac12[\), \([\frac12; +\infty[\).
- Montrer que le produit de trois entiers relatifs consécutifs est divisible par 6.
Parmi trois entiers consécutifs, l'un est divisible par 2, l'un par 3, donc le produit est divisible par 6. - Montrer que pour tout \(x \in \mathbb{R}\) :
- \( x + \sqrt{x^2 + 1} > 0 \) (vrai car \(\sqrt{x^2+1} > |x|\))
- \( |x| + |x+1| + |x-1| \neq 0 \) (somme de valeurs absolues jamais nulle simultanément)
- \( |x-1| \leq x^2 - 2x + 2 = (x-1)^2 + 1 \) (toujours vrai)
- Implications avec disjonction des cas :
Montrer que \((a \leq c \text{ et } |b| \leq c) \Rightarrow |a+b| + |a-b| \leq 2c\)
Cas \(a \geq 0\) et \(a < 0\) en utilisant \(|b| \leq c\).
❻ 5-6) RAISONNEMENT PAR RÉCURRENCE
Proposition
📌 Principe de récurrence : Soit \(P(n)\) une proposition dépendant de \(n \in \mathbb{N}\) et \(n_0 \in \mathbb{N}\).
Si les deux conditions suivantes sont vérifiées :
Si les deux conditions suivantes sont vérifiées :
- Initialisation : \(P(n_0)\) est vraie.
- Hérédité : Pour tout \(n \geq n_0\), \(P(n) \Rightarrow P(n+1)\) est vraie.
🔹 Applications :
- Sommes classiques : \[ 1 + 2 + \dots + n = \frac{n(n+1)}{2} \] \[ 1^3 + 2^3 + \dots + n^3 = \frac{n^2(n+1)^2}{4} \] \[ 1 \times 2 + 2 \times 3 + \dots + n(n+1) = \frac{n(n+1)(n+2)}{3} \]
- Divisibilité :
Montrer par récurrence que \(5^{2n+1} + 2^{n+4} + 2^{n+1}\) est divisible par 23. - Inégalité :
Soit \(a, b > 0\), \(a \neq b\). Montrer par récurrence que : \[ \left(\frac{a+b}{2}\right)^n \leq \frac{a^n + b^n}{2} \]
✏️ Remarque sur la récurrence :
- L'initialisation est souvent vérifiée pour \(n=0\) ou \(n=1\).
- Dans l'hérédité, on suppose \(P(n)\) vraie (hypothèse de récurrence) et on démontre \(P(n+1)\).
- La récurrence est un outil puissant pour les énoncés dépendant d'un entier naturel.