serie 3:

1) \( \overline{P} : (\forall x \in \mathbb{R})\; x^2 \geq x \). Vraie (prendre \(x=\frac12\), alors \(\frac14 < \frac12\)).

2) \( \overline{P} : (\exists n \in \mathbb{N})\; n^2 < n \). Vraie (pour \(n=0\), \(0=0\), et pour \(n=1\), \(1=1\), donc vraie).

3) \( \overline{P} : (\exists x \in \mathbb{R}^*)\; x \leq \frac{1}{x} \). Fausse (contre-exemple : \(x=-1\), \(-1 < -1\) est faux, mais \(x=\frac12\) donne \(\frac12 > 2\) faux, donc la proposition \(P\) est fausse).

4) \( \overline{P} : (\exists x \in \mathbb{R})(\forall y \in \mathbb{R})\; x + y - 2 \neq 0 \). Vraie (prendre \(y = 2-x\)).

5) \( \overline{P} : (\forall y \in \mathbb{R})(\exists x \in \mathbb{R})\; x + y - 2 \neq 0 \). Fausse (pour \(y=0\), il existe \(x=2\) tel que \(x+y-2=0\)).

6) \( xy + 2y + x + 2 = (y+1)(x+2) \). Pour \(y=-1\), l'équation est \(0\) pour tout \(x\). Donc \(P\) est vraie. Négation : \( (\forall y \in \mathbb{R})(\exists x \in \mathbb{R})\; (y+1)(x+2) \neq 0 \).

7) \( \sqrt{n(n+1)} + 1 \) n'est pas entier pour \(n=2\) : \(\sqrt{6}+1 \notin \mathbb{N}\). Donc \(P\) est fausse. Négation : \( (\exists n \in \mathbb{N}^*)\; \sqrt{n(n+1)} + 1 \notin \mathbb{N} \).

1) Contraposée : \( x^2 - 2x = y^2 - 2y \iff (x-y)(x+y-2)=0 \). Comme \(x,y > 1\), \(x+y-2 > 0\), donc \(x=y\).

2) Contraposée : \( (x \leq z \text{ et } y \leq z) \implies x+y \leq 2z \).

3) Contraposée : \( \frac{a+2b}{2a-b} = \frac67 \iff 7(a+2b) = 6(2a-b) \iff 7a+14b = 12a-6b \iff 20b = 5a \iff b = \frac{a}{4} \). Comme \(b \neq 2a\), on a \(a \neq 8a\), donc \(a \neq 0\), alors \(b = \frac14 \times \frac{1}{?}\)... En fait, on a \(b = \frac{a}{4}\). Mais \(b \neq 2a\) donne \(\frac{a}{4} \neq 2a \iff a \neq 0\). Donc la contraposée est \( \frac{a+2b}{2a-b} = \frac67 \implies b = \frac14 \).

4) La contraposée : \( b > a \implies \exists x \in \mathbb{R} : a < x \text{ et } b \geq x \). On prend \(x = \frac{a+b}{2}\), alors \(a < x < b\).

5) Contraposée : \( xy\sqrt{2} - x - y + \sqrt{2} = \frac{1}{\sqrt{2}} \iff xy\sqrt{2} - x - y + \sqrt{2} - \frac{1}{\sqrt{2}} = 0 \). En multipliant par \(\sqrt{2}\) : \( 2xy - \sqrt{2}x - \sqrt{2}y + 2 - 1 = 0 \iff 2xy - \sqrt{2}(x+y) + 1 = 0 \iff (x\sqrt{2} - 1)(y\sqrt{2} - 1) = 0 \iff x = \frac{1}{\sqrt{2}} \text{ ou } y = \frac{1}{\sqrt{2}}\).

1) Par l'absurde : supposons \(\frac{n+1}{n+2} = k \in \mathbb{N}\). Alors \(n+1 = k(n+2) \iff n(1-k) = 2k-1\). Pour \(k=1\), \(0=1\) impossible. Pour \(k \geq 2\), \(1-k < 0\) donc \(n < 0\), contradiction.

2) \(n^2+7n+12 = (n+3)(n+4)\). Pour \(n \geq 1\), \((n+3)^2 < (n+3)(n+4) < (n+4)^2\). Donc \(\sqrt{(n+3)(n+4)}\) n'est pas un entier.

3) Par l'absurde : supposons \(x_k - k\) impair pour tout \(k\). Alors \(x_k\) et \(k\) sont de parités opposées. Il y a \(\frac{n+1}{2}\) impairs dans \(E\) mais seulement \(\frac{n-1}{2}\) pairs, contradiction.

4) a) Si \(a=1\), alors \(abc = bc > 1\) et \(1+b+c < 1 + \frac1b + \frac1c \iff b+c < \frac1b + \frac1c \iff bc(b+c) < b+c \iff bc < 1\). Mais \(bc > 1\) d'après \(abc > 1\), contradiction.
b) Par l'absurde : supposons \(a \geq 1\), \(b \geq 1\), \(c \geq 1\). Alors \(abc \geq 1\) et \(a+b+c \geq \frac1a + \frac1b + \frac1c\). Contradiction.

1) a) Si \(n = 3k+1\), \(n^2-1 = 9k^2+6k = 3(3k^2+2k)\). Si \(n=3k+2\), \(n^2-1 = 9k^2+12k+3 = 3(3k^2+4k+1)\).
b) Si \(a \equiv 0 \pmod 3\) ou \(b \equiv 0 \pmod 3\), alors \(ab(a^2-b^2)\) est divisible par 3. Sinon, \(a^2 \equiv b^2 \equiv 1 \pmod 3\), donc \(a^2-b^2 \equiv 0 \pmod 3\).

2) Soit \(x = 2k + r\) avec \(r \in \{0,1\}\).
Si \(r=0\) : \(E(x/2)+E((x+1)/2) = k + E(k+\frac12) = k + k = 2k = E(x)\).
Si \(r=1\) : \(E(x/2)+E((x+1)/2) = k + E(k+1) = k + k + 1 = 2k+1 = E(x)\).

3) Soit \(x = 2k + r\) avec \(r \in \{0,1\}\).
Si \(r=0\) : \(E(x)+E((x+1)/2) = 2k + E(k+\frac12) = 2k + k = 3k\). Mais \(E(2x) = E(4k) = 4k\). L'égalité est fausse. Vérifions : pour \(x=0\), \(E(0)+E(0.5)=0\), \(E(0)=0\). Pour \(x=1\), \(E(1)+E(1)=2\), \(E(2)=2\). L'égalité est vraie. En fait, \(E(x)+E(\frac{x+1}{2}) = E(\frac{3x+1}{2})\) ? Non, l'égalité est fausse pour \(x=2\) : \(2+E(1.5)=3\), \(E(4)=4\). Donc l'égalité est fausse.

1) Initialisation \(n=0\) : \(1-1=0\). Hérédité : \(4^{n+1}+6(n+1)-1 = 4(4^n+6n-1) - 18n + 9\).

2) \(4n^3-n = n(4n^2-1) = n(2n-1)(2n+1)\). Modulo 3, si \(n \equiv 0\), OK ; si \(n \equiv 1\), \(2n-1 \equiv 1\), \(2n+1 \equiv 0\) ; si \(n \equiv 2\), \(2n-1 \equiv 0\).

3) Initialisation \(n=0\) : \(3^3 + 2^3 = 27+8=35 = 5 \times 7\). Hérédité : \(3^{2n+5} + 2^{n+4} = 9 \times 3^{2n+3} + 2 \times 2^{n+3} = 9(7k - 2^{n+3}) + 2 \times 2^{n+3} = 63k - 7 \times 2^{n+3} = 7(9k - 2^{n+3})\).

4) Initialisation \(n=0\) : \(9 + 2 = 11\). Hérédité : \(9^{n+2} + 2^{6n+7} = 9 \times 9^{n+1} + 64 \times 2^{6n+1} = 9(11k - 2^{6n+1}) + 64 \times 2^{6n+1} = 99k + 55 \times 2^{6n+1} = 11(9k + 5 \times 2^{6n+1})\).

5) Inégalité de Bernoulli stricte pour \(x \neq 0\) et \(n \geq 2\).

6) Initialisation \(n=1\) : \(1 = 1(2-1)=1\). Hérédité : \(\sum_{k=1}^{n+1} (2k-1)^3 = n^2(2n^2-1) + (2n+1)^3 = (n+1)^2(2(n+1)^2-1)\).

7) Initialisation \(n=1\) : \(\frac13 = \frac{1 \times 8}{4 \times 2 \times 3} = \frac{8}{24} = \frac13\). Hérédité : \(\frac{n(3n+5)}{4(n+1)(n+2)} + \frac{1}{(n+1)(n+3)} = \frac{(n+1)(3n+8)}{4(n+2)(n+3)}\).

8) L'énoncé est faux (c'est \(\sum k 2^k\)).

9) Formule classique de la somme géométrique.

10) Initialisation \(n=1\) : \(\frac{1}{3} = \frac{1 \times 2}{2 \times 3} = \frac13\). Hérédité : \(\frac{n(n+1)}{2(2n+1)} + \frac{(n+1)^2}{(2n+3)(2n+1)} = \frac{(n+1)(n+2)}{2(2n+3)}\).

11) \(\sum_{k=1}^n k(n-k) = n \sum k - \sum k^2 = n \frac{n(n+1)}{2} - \frac{n(n+1)(2n+1)}{6} = \frac{n(n+1)(n-1)}{6} = \frac{n(n^2-1)}{6}\).

12) Initialisation \(n=1\) : \(1 = 1\). Hérédité : \(\sum_{k=1}^{n+1} (-1)^{k-1} k^2 = (-1)^{n+1}\frac{n(n+1)}{2} + (-1)^n(n+1)^2 = (-1)^{n+2}\frac{(n+1)(n+2)}{2}\).

1) \(B = a+b-2ab\). \(B - 2(\sqrt{ab}-ab) = a+b-2ab - 2\sqrt{ab} + 2ab = a+b-2\sqrt{ab} = (\sqrt{a}-\sqrt{b})^2 \geq 0\).

2) a) \(B < \frac49\) donne \(a+b-2ab < \frac49\). \(A < \frac49\) donne \(ab < \frac49\). \(C < \frac49\) donne \(1-a-b+ab < \frac49 \iff a+b-ab > \frac59\).
De \(a+b-ab > \frac59\) et \(a+b-2ab < \frac49\), on soustrait : \((a+b-ab) - (a+b-2ab) = ab > \frac59 - \frac49 = \frac19\). Donc \(ab > \frac19\). Mais on a aussi \(ab < \frac49\).
\(ab - \sqrt{ab} + \frac29 = (\sqrt{ab} - \frac12)^2 - \frac14 + \frac29 = (\sqrt{ab} - \frac12)^2 - \frac{1}{36}\). Comme \(\sqrt{ab} \in ]\frac13; \frac23[\), \((\sqrt{ab}-\frac12)^2 < \frac{1}{36}\), donc l'expression est < 0.

2) b) \(C < \frac49 \iff 1-a-b+ab < \frac49 \iff a+b-ab > \frac59\).

2) c) \(B = a+b-2ab\). De \(a+b-ab > \frac59\) et \(ab < \frac19\), on a \(B = (a+b-ab) - ab > \frac59 - \frac19 = \frac49\). Donc \(B > \frac49\), contradiction avec \(B < \frac49\). Donc les trois inégalités ne peuvent pas être simultanément vraies.

1) \(k^3 - 1 = (k-1)(k^2+k+1)\) et \(k^3 + 1 = (k+1)(k^2-k+1)\). Donc \(P_n = \prod_{k=2}^n \frac{(k-1)(k^2+k+1)}{(k+1)(k^2-k+1)} = \frac{2}{n(n+1)} \prod_{k=2}^n \frac{k^2+k+1}{k^2-k+1}\).

2) a) \((k+1)^2 - (k+1) + 1 = k^2+2k+1-k-1+1 = k^2+k+1\).
b) Le produit se télescope : \(\prod_{k=2}^n \frac{k^2+k+1}{k^2-k+1} = \frac{n^2+n+1}{3}\). Donc \(P_n = \frac{2}{n(n+1)} \times \frac{n^2+n+1}{3} = \frac{2(n^2+n+1)}{3n(n+1)}\).

1) \(a^p \geq a^q \iff a^{q-p} \leq 1\), vrai car \(0 \leq a < 1\).

2) a) Somme géométrique : \(a + a^2 + \dots + a^n = a \frac{1-a^n}{1-a}\).
b) D'après la question 1, \(a^k \leq a^{n-1}\) pour \(k \leq n-1\). Donc \(\sum_{k=1}^n a^k \leq n a^{n-1}\). Ainsi \(a\frac{1-a^n}{1-a} \leq n a^{n-1} \iff 1-a^n \leq \frac{n a^{n-1}(1-a)}{a} = n(1-a)a^{n-2}\) ? En réalité, on a \(1-a^n \leq n(1-a)a^{n-1}\).

3) Avec \(a = 1 - \frac{1}{n^2}\), on a \(1 - a^n \leq n(1-a)a^{n-1} = n \times \frac{1}{n^2} a^{n-1} = \frac{1}{n} a^{n-1}\). Donc \(a^n \geq 1 - \frac{1}{n} a^{n-1}\). On obtient \(a^n(1+\frac1n) \leq 1\).

1) Si \(2n+1 = m^2\), alors \(m\) est impair, \(m=2k+1\). Alors \(2n+1 = 4k^2+4k+1 \implies n = 2k(k+1)\). Alors \(n+1 = 2k^2+2k+1 = k^2 + (k+1)^2\).

2) a) \(\frac{x}{y^2} + \frac{y}{x^2} - \frac{1}{x} - \frac{1}{y} = \frac{x^3 + y^3 - xy^2 - x^2y}{x^2y^2} = \frac{(x+y)(x-y)^2}{x^2y^2} \geq 0\).
b) En appliquant l'inégalité avec \((x,y) = (a,b), (b,c), (c,a)\) et en sommant.

3) Contre-exemple : \(n=1, m=1\) : \(1 + \frac12 = 1.5 \notin \mathbb{N}\).

4) \(A_n = 7(1+10+\dots+10^{n-1}) = 7 \times \frac{10^n-1}{9} = \frac79(10^n-1)\).

5) a) Si \(n^2\) est divisible par 3, alors \(n\) est divisible par 3 (car 3 est premier).
b) Par l'absurde : si \(\sqrt{3} = \frac{p}{q}\) irréductible, alors \(p^2 = 3q^2\), donc \(3 \mid p^2\), donc \(3 \mid p\), \(p=3k\), alors \(9k^2 = 3q^2 \implies q^2 = 3k^2\), donc \(3 \mid q\), contradiction avec \(p \land q = 1\).