serie 1:

On pose \( p(x) = \frac{f(x)+f(-x)}{2} \) (partie paire) et \( i(x) = \frac{f(x)-f(-x)}{2} \) (partie impaire).

Alors \( p(-x) = \frac{f(-x)+f(x)}{2} = p(x) \), donc \( p \) est paire.

\( i(-x) = \frac{f(-x)-f(x)}{2} = -i(x) \), donc \( i \) est impaire.

De plus \( f(x) = p(x) + i(x) \).

Unicité : Si \( f = p_1 + i_1 = p_2 + i_2 \) avec \( p_i \) paires et \( i_i \) impaires, alors \( p_1-p_2 = i_2-i_1 \). Le membre de gauche est pair, celui de droite est impair. Une fonction à la fois paire et impaire est nulle. Donc \( p_1=p_2 \) et \( i_1=i_2 \).

Si \( f \) est paire : \( f(-x)=f(x) \). En dérivant : \( -f'(-x)=f'(x) \), donc \( f'(-x)=-f'(x) \). \( f' \) est impaire.

Si \( f \) est impaire : \( f(-x)=-f(x) \). En dérivant : \( -f'(-x)=-f'(x) \Rightarrow f'(-x)=f'(x) \). \( f' \) est paire.

Généralisation :

• Si \( f \) est paire : \( f^{(n)} \) a la parité de \( n \) (paire si \( n \) pair, impaire si \( n \) impair).
• Si \( f \) est impaire : \( f^{(n)} \) a la parité de \( n+1 \) (impaire si \( n \) pair, paire si \( n \) impair).

Primitives : Une primitive d'une fonction paire est impaire (à une constante près). Une primitive d'une fonction impaire est paire.

1) \( f(\frac32 + t) = (\frac32+t)^2 - 3(\frac32+t) + 2 = t^2 - \frac14 \).

\( f(\frac32 - t) = (\frac32-t)^2 - 3(\frac32-t) + 2 = t^2 - \frac14 \).

Donc \( f(\frac32+t)=f(\frac32-t) \), \( x=\frac32 \) est un axe de symétrie.

2) On vérifie \( f(1+t)+f(1-t)=4 \).

\( f(1+t)=\frac{2(1+t)+1}{(1+t)-1} = \frac{3+2t}{t} \).

\( f(1-t)=\frac{2(1-t)+1}{(1-t)-1} = \frac{3-2t}{-t} = \frac{2t-3}{t} \).

Somme : \( \frac{3+2t+2t-3}{t} = 4 \). Donc \( I(1,2) \) est centre de symétrie.

3) \( f(x)+f(-x) = \frac{e^x}{e^x+1} + \frac{e^{-x}}{e^{-x}+1} = \frac{e^x}{e^x+1} + \frac{1}{e^x+1} = 1 \).

Donc \( f(x)+f(-x)=1 \), ce qui équivaut à \( f(x)-\frac12 = -(f(-x)-\frac12) \).

\( I(0,\frac12) \) est centre de symétrie.

4) \( f \) est paire car \( f(-x)=\cos(-x)+\cos(-3x)=\cos x+\cos 3x=f(x) \).

Donc l'axe des ordonnées est axe de symétrie.

1) \( f_1(x+1)=E(x+1)-(x+1)=E(x)+1-x-1=E(x)-x=f_1(x) \). Période \( T=1 \).

2) \( f_2(x+\frac12)=E(2x+1)-(2x+1)=E(2x)+1-2x-1=E(2x)-2x=f_2(x) \). Période \( T=\frac12 \).

3) \( \cos 2x \) a pour période \( \pi \), \( \sin 4x \) a pour période \( \frac{\pi}{2} \). La période commune est \( \pi \).

4) \( \cos 4x \) a pour période \( \frac{\pi}{2} \).

5) \( \cos(\frac{3x}{2}) \) a pour période \( \frac{4\pi}{3} \).

6) \( \cos(\frac{2x}{3}) \) a pour période \( 3\pi \).

1) \( 0 \leq \frac{x^2}{x^2+1} < 1 \). Donc \( f \) est bornée entre 0 et 1.

2) \( |x| \leq x^2+1 \), donc \( |\frac{x}{x^2+1}| \leq 1 \).

Donc \( -\frac12 \leq f(x) \leq \frac12 \). \( f \) est bornée.

1) \( f(x)=-3(x+1)^2+1 \). La fonction est croissante sur \( ]-\infty;-1] \) et décroissante sur \( [-1;+\infty[ \).

2) \( f(x)=3-\frac{5}{2x+1} \). Sur \( ]-\infty;-\frac12[ \), \( 2x+1<0 \), donc \( -\frac{5}{2x+1}>0 \). La fonction est croissante.

3) \( f(x)=\ln(1+e^x) \). \( f'(x)=\frac{e^x}{1+e^x}>0 \). Donc strictement croissante sur \( \mathbb{R} \).

4) \( g(x)=\frac{1}{\ln^2|x|+1} \) est décroissante sur \( ]0;1[ \) et sur \( ]1;+\infty[ \). Donc \( f \) est croissante sur ces intervalles.

1) \( f'(x)=\cos x+\sin x > 0 \) sur \( [0,\frac{\pi}{4}] \). Donc \( f \) est strictement croissante.

2) \( f'(x)=\ln x+1 > 0 \) sur \( [1,+\infty[ \). Donc \( f \) est strictement croissante.

3) \( f'(x)=\frac{-5}{(x-1)^2}<0 \). Donc \( f \) est strictement décroissante sur \( ]1;+\infty[ \).

4) \( f'(x)=\frac{8x^3}{(x^4+1)^2} \). Le signe est celui de \( x^3 \).

Donc \( f \) est décroissante sur \( ]-\infty;0] \) et croissante sur \( [0;+\infty[ \).

1) La fonction \( f(x)=\frac{2x+1}{4x+3} \) est croissante sur \( [1,2] \) car \( f'(x)=\frac{-2}{(4x+3)^2} \) ? En réalité \( f'(x)=\frac{2}{(4x+3)^2}>0 \).

Donc \( f(1) \leq f(x) \leq f(2) \).

\( f(1)=\frac{3}{7} \), \( f(2)=\frac{5}{11} \).

On a \( \frac{3}{11} \leq \frac{3}{7} \) et \( \frac{5}{11} \leq \frac{5}{7} \).

2) \( \frac{2x+1}{4x+3} = \frac{3}{11} \iff 11(2x+1)=3(4x+3) \iff 22x+11=12x+9 \iff 10x=-2 \iff x=-\frac15 \).

Donc l'égalité n'est pas réalisée sur \( [1,2] \), l'encadrement est strict.

1) \( 0 \leq x^2 \leq 4 \) sur \( [-1,2] \).

2) \( f(x)=x^2-3x+2 = (x-\frac32)^2 - \frac14 \). Minimum \( -\frac14 \) en \( x=\frac32 \). Maximum \( 6 \) en \( x=4 \).

Donc \( -\frac14 \leq x^2-3x+2 \leq 6 \).

3) Sur \( [-2,-1] \), \( \frac{1}{x} \in [-1,-\frac12] \).

4) Sur \( [-1,1]\setminus\{0\} \), \( \frac{1}{x^2} \in [1,+\infty[ \) car \( |x| \leq 1 \Rightarrow x^2 \leq 1 \Rightarrow \frac{1}{x^2} \geq 1 \).

1) \( 2x^2-5x+3 - (3x-3) = 2x^2-8x+6 = 2(x^2-4x+3) = 2(x-1)(x-3) \).

Sur \( [1,3] \), \( (x-1)(x-3) \leq 0 \), donc l'expression est \( \leq 0 \).

2) \( \frac{2x^2-7x+1}{x+3} \leq 10x \iff 2x^2-7x+1 \leq 10x(x+3) = 10x^2+30x \).

\( \iff 0 \leq 8x^2+37x-1 \), ce qui est vrai pour \( x \geq 1 \).

\( \sqrt{x^2+1}-x = \frac{1}{\sqrt{x^2+1}+x} \).

Comme \( \sqrt{x^2+1}+x > 0 \) pour tout \( x \) (car \( \sqrt{x^2+1} > |x| \)), on a \( \sqrt{x^2+1}-x > 0 \) pour tout \( x \).

Donc \( \sqrt{x^2+1}+x > 0 \) pour tout \( x \).

1) Soit \( f(x)=\sin x-x \). \( f'(x)=\cos x-1 \leq 0 \). Donc \( f \) est décroissante sur \( [0,+\infty[ \).

\( f(0)=0 \), donc \( f(x) \leq 0 \), soit \( \sin x \leq x \).

2) Soit \( g(x)=e^x-1-x \). \( g'(x)=e^x-1 \).

\( g \) est décroissante sur \( ]-\infty,0] \) et croissante sur \( [0,+\infty[ \).

Donc \( g(x) \geq g(0)=0 \), soit \( e^x \geq 1+x \).

3) Soit \( h(x)=\ln(1+x)-x \). \( h'(x)=\frac{1}{1+x}-1 = -\frac{x}{1+x} \).

\( h \) est croissante sur \( ]-1,0] \) et décroissante sur \( [0,+\infty[ \).

Donc \( h(x) \leq h(0)=0 \), soit \( \ln(1+x) \leq x \).