• I. Activités
    • 1) Activité 1 – Équilibre d'une barre
    • 2) Activité 2 – Triangle rectangle
    • 3) Activité 3 – Application de Leibniz
  • II. Définitions et propriétés
    • 1) Vocabulaire
    • 2) Barycentre de deux points pondérés
    • 3) Barycentre de trois points pondérés
    • 4) Barycentre de quatre points pondérés
❶ I) ACTIVITÉS

1) Activité 1 – Équilibre d'une barre

🔹 Énoncé : Sur une barre rigide de poids négligeable et de longueur 1m, on place deux boules métalliques de 500g en A et de 350g en B. Déterminer la position du point M pour que le système soit en équilibre.
A 500g B 350g M ?
✅ Corrigé

Pour l'équilibre, on a \( 500 \times \overline{MA} + 350 \times \overline{MB} = \vec{0} \).

Donc \( M = \text{Bar}\{(A, 500); (B, 350)\} \).

\( \overline{AM} = \frac{350}{500+350} \overline{AB} = \frac{350}{850} \overline{AB} = \frac{7}{17} \overline{AB} \).

Donc \( M \) est situé à \( \frac{7}{17} \) de A vers B.

2) Activité 2 – Triangle rectangle

🔹 Énoncé : Soit ABC un triangle rectangle en A avec AC = 2AB. Montrer qu'il existe un unique point G tel que \( 2\overrightarrow{AG} - 3\overrightarrow{BG} + 2\overrightarrow{CG} = \vec{0} \). Tracer G. Déterminer ses coordonnées dans le repère \( (A, \overrightarrow{AB}, \overrightarrow{AI}) \) où I est milieu de [AC].

✅ Corrigé

\( 2\overrightarrow{AG} - 3\overrightarrow{BG} + 2\overrightarrow{CG} = \vec{0} \).

On a \( 2\overrightarrow{AG} - 3(\overrightarrow{AG}-\overrightarrow{AB}) + 2(\overrightarrow{AG}-\overrightarrow{AC}) = \vec{0} \).

\( (2-3+2)\overrightarrow{AG} + 3\overrightarrow{AB} - 2\overrightarrow{AC} = \vec{0} \).

\( \overrightarrow{AG} + 3\overrightarrow{AB} - 2\overrightarrow{AC} = \vec{0} \).

Donc \( \overrightarrow{AG} = -3\overrightarrow{AB} + 2\overrightarrow{AC} \).

Dans le repère \( (A, \overrightarrow{AB}, \overrightarrow{AI}) \), on a \( \overrightarrow{AC} = 2\overrightarrow{AI} \).

Donc \( \overrightarrow{AG} = -3\overrightarrow{AB} + 4\overrightarrow{AI} \).

Les coordonnées de G sont \( (-3, 4) \).

3) Activité 3 – Application de Leibniz

📌 Application de Leibniz : Soit \( (A_i)_{1 \leq i \leq n} \) une famille de points et \( (\alpha_i)_{1 \leq i \leq n} \) des réels de somme non nulle. L'application \[ \varphi : P \to \mathcal{V}_2 \quad ; \quad M \mapsto \sum_{i=1}^{n} \alpha_i \overrightarrow{MA_i} \] est une bijection. L'application \( \varphi \) s'appelle l'application de Leibniz.
✏️ Propriété : Il existe un unique point \( G \) tel que \( \varphi(G) = \vec{0} \). Ce point est le barycentre du système pondéré \( \{(A_i, \alpha_i)\}_{1 \leq i \leq n} \).
❷ II) DÉFINITIONS ET PROPRIÉTÉS

1) Vocabulaire

📌 Définitions :
  • Soit \( A \) un point et \( \alpha \) un réel non nul. Le couple \( (A, \alpha) \) s'appelle un point pondéré.
  • Plusieurs points pondérés constituent un système pondéré.

2) Barycentre de deux points pondérés

📌 Définition : Soit \( \Sigma = \{(A, \alpha); (B, \beta)\} \) avec \( \alpha + \beta \neq 0 \). Le barycentre de \( \Sigma \) est l'unique point \( G \) tel que : \[ \alpha \overrightarrow{AG} + \beta \overrightarrow{BG} = \vec{0} \] On note \( G = \text{Bar}\{(A, \alpha); (B, \beta)\} \).
✏️ Propriétés :
  • Homogénéité : Le barycentre ne change pas si on multiplie tous les poids par un même réel non nul.
  • Position : Si \( \alpha = \beta \), le barycentre est le milieu de \([AB]\).
  • Alignement : Les points \( A, B, G \) sont alignés.
📌 Propriété caractéristique : Pour tout point \( O \) du plan : \[ \overrightarrow{OG} = \frac{\alpha}{\alpha+\beta} \overrightarrow{OA} + \frac{\beta}{\alpha+\beta} \overrightarrow{OB} \]
📌 Coordonnées : Dans un repère \( (O, \vec{i}, \vec{j}) \), si \( A(x_A, y_A) \) et \( B(x_B, y_B) \) : \[ x_G = \frac{\alpha x_A + \beta x_B}{\alpha+\beta} \quad ; \quad y_G = \frac{\alpha y_A + \beta y_B}{\alpha+\beta} \]
🔹 Construction de \( G = \text{Bar}\{(A, 3); (B, 2)\} \) :
 

\( \overrightarrow{AG} = \frac{2}{5}\overrightarrow{AB} \), donc \( AG = \frac{2}{5} AB \).

3) Barycentre de trois points pondérés

📌 Définition : Soit \( \Sigma = \{(A, \alpha); (B, \beta); (C, \gamma)\} \) avec \( \alpha+\beta+\gamma \neq 0 \). Le barycentre \( G \) est l'unique point tel que : \[ \alpha \overrightarrow{AG} + \beta \overrightarrow{BG} + \gamma \overrightarrow{CG} = \vec{0} \]
📌 Propriété caractéristique : Pour tout point \( O \) du plan : \[ \overrightarrow{OG} = \frac{\alpha}{\alpha+\beta+\gamma} \overrightarrow{OA} + \frac{\beta}{\alpha+\beta+\gamma} \overrightarrow{OB} + \frac{\gamma}{\alpha+\beta+\gamma} \overrightarrow{OC} \]
📌 Coordonnées : Si \( A(x_A, y_A), B(x_B, y_B), C(x_C, y_C) \) : \[ x_G = \frac{\alpha x_A + \beta x_B + \gamma x_C}{\alpha+\beta+\gamma} \quad ; \quad y_G = \frac{\alpha y_A + \beta y_B + \gamma y_C}{\alpha+\beta+\gamma} \]
✏️ Associativité : Si \( \alpha+\beta \neq 0 \) et \( G' = \text{Bar}\{(A, \alpha); (B, \beta)\} \), alors : \[ G = \text{Bar}\{(G', \alpha+\beta); (C, \gamma)\} \]

Cette propriété permet de construire le barycentre de trois points.

🔹 Construction de \( G = \text{Bar}\{(A, -2); (B, 3); (C, 1)\} \) :
 

On construit d'abord \( G' = \text{Bar}\{(A, -2); (B, 3)\} \), puis \( G = \text{Bar}\{(G', 1); (C, 1)\} \).

✏️ Cas particulier : Si \( \alpha = \beta = \gamma \), le barycentre est le centre de gravité du triangle ABC.

4) Barycentre de quatre points pondérés

📌 Définition : Soit \( \Sigma = \{(A, \alpha); (B, \beta); (C, \gamma); (D, \delta)\} \) avec \( \alpha+\beta+\gamma+\delta \neq 0 \). Le barycentre \( G \) est l'unique point tel que : \[ \alpha \overrightarrow{AG} + \beta \overrightarrow{BG} + \gamma \overrightarrow{CG} + \delta \overrightarrow{DG} = \vec{0} \]
📌 Propriété caractéristique : Pour tout point \( O \) du plan : \[ \overrightarrow{OG} = \frac{\alpha}{S} \overrightarrow{OA} + \frac{\beta}{S} \overrightarrow{OB} + \frac{\gamma}{S} \overrightarrow{OC} + \frac{\delta}{S} \overrightarrow{OD} \] où \( S = \alpha+\beta+\gamma+\delta \).
📌 Coordonnées : Si \( A(x_A, y_A), B(x_B, y_B), C(x_C, y_C), D(x_D, y_D) \) : \[ x_G = \frac{\alpha x_A + \beta x_B + \gamma x_C + \delta x_D}{S} \quad ; \quad y_G = \frac{\alpha y_A + \beta y_B + \gamma y_C + \delta y_D}{S} \]
✏️ Associativité : Si \( \alpha+\beta \neq 0 \) et \( \gamma+\delta \neq 0 \), avec \( G' = \text{Bar}\{(A, \alpha); (B, \beta)\} \) et \( G'' = \text{Bar}\{(C, \gamma); (D, \delta)\} \), alors : \[ G = \text{Bar}\{(G', \alpha+\beta); (G'', \gamma+\delta)\} \]
✏️ Cas particulier : Si \( \alpha = \beta = \gamma = \delta \), le barycentre est le centre de gravité du quadrilatère ABCD.

📌 Exercice 1 – Réduction de vecteurs

Soit ABC un triangle. Pour tout point M, on pose :

\( \vec{u} = \overrightarrow{AM} + \overrightarrow{BM} + 2\overrightarrow{CM} \)

\( \vec{v} = \overrightarrow{AM} + \overrightarrow{BM} - 2\overrightarrow{CM} \)

1) Réduire l'écriture de \( \vec{u} \).
2) Montrer que \( \vec{v} \) est constant.
3) Déterminer l'ensemble des points M tels que \( \vec{u} \) et \( \vec{v} \) soient colinéaires.
✅ Corrigé

1) \( \vec{u} = \overrightarrow{AM} + \overrightarrow{BM} + 2\overrightarrow{CM} = \overrightarrow{AM} + (\overrightarrow{AM}-\overrightarrow{AB}) + 2(\overrightarrow{AM}-\overrightarrow{AC}) \).

\( = 4\overrightarrow{AM} - \overrightarrow{AB} - 2\overrightarrow{AC} \).

Soit \( G = \text{Bar}\{(A, 4); (B, -1); (C, -2)\} \). Alors \( \vec{u} = 4\overrightarrow{MG} \).

2) \( \vec{v} = \overrightarrow{AM} + \overrightarrow{BM} - 2\overrightarrow{CM} = \overrightarrow{AM} + (\overrightarrow{AM}-\overrightarrow{AB}) - 2(\overrightarrow{AM}-\overrightarrow{AC}) \).

\( = 0 \times \overrightarrow{AM} - \overrightarrow{AB} + 2\overrightarrow{AC} = -\overrightarrow{AB} + 2\overrightarrow{AC} \).

Donc \( \vec{v} \) est constant.

3) \( \vec{u} \) et \( \vec{v} \) colinéaires \( \iff 4\overrightarrow{MG} \) colinéaire à \( \vec{v} \).

Donc \( M \) appartient à la droite passant par \( G \) et de direction \( \vec{v} \).

📌 Exercice 2 – Ensembles de points

Déterminer les ensembles suivants :

\( \Delta = \{M \mid \|4\overrightarrow{AM}+2\overrightarrow{BM}-\overrightarrow{CM}\| = \|\overrightarrow{AM}+2\overrightarrow{BM}+2\overrightarrow{CM}\| \} \)

✅ Corrigé

Soit \( G_1 = \text{Bar}\{(A,4); (B,2); (C,-1)\} \) et \( G_2 = \text{Bar}\{(A,1); (B,2); (C,2)\} \).

\( \Delta = \{M \mid (4+2-1)\|\overrightarrow{MG_1}\| = (1+2+2)\|\overrightarrow{MG_2}\| \} \).

\( \Delta = \{M \mid 5\|\overrightarrow{MG_1}\| = 5\|\overrightarrow{MG_2}\| \} \).

Donc \( \Delta = \{M \mid MG_1 = MG_2\} \) est la médiatrice du segment \([G_1G_2]\).

📚 Barycentre – Cours complet – 1BAC SM