Conditions d’achèvement
📌 Exercice 1 – Construction
Construire \( E = \text{Bar}\{(A,2); (B,-1)\} \) et \( G = \text{Bar}\{(A,-3); (B,5)\} \).
✅ Correction détaillée
1) \( E = \text{Bar}\{(A,2); (B,-1)\} \)
La somme des poids est \( 2-1=1 \neq 0 \).
\( \overrightarrow{AE} = \frac{-1}{2-1}\overrightarrow{AB} = -\overrightarrow{AB} \).
Donc \( E \) est le symétrique de \( B \) par rapport à \( A \).
2) \( G = \text{Bar}\{(A,-3); (B,5)\} \)
La somme est \( -3+5=2 \neq 0 \).
\( \overrightarrow{AG} = \frac{5}{2}\overrightarrow{AB} \).
Donc \( G \) est sur la droite \( (AB) \), au-delà de \( B \), à \( 2.5 AB \) de \( A \).
📌 Exercice 2 – Relation vectorielle
\( B \) est barycentre de \( (A,2) \) et \( (G,1) \). Montrer que \( G \) est barycentre de \( (A,2) \) et \( (B,-3) \).
✅ Correction détaillée
\( B = \text{Bar}\{(A,2); (G,1)\} \), donc \( 2\overrightarrow{BA} + \overrightarrow{BG} = \vec{0} \).
\( 2\overrightarrow{BA} = -\overrightarrow{BG} = \overrightarrow{GB} \).
On veut \( G = \text{Bar}\{(A,2); (B,-3)\} \), c'est-à-dire \( 2\overrightarrow{GA} - 3\overrightarrow{GB} = \vec{0} \).
\( 2\overrightarrow{GA} = 2(\overrightarrow{GB}+\overrightarrow{BA}) = 2\overrightarrow{GB} + 2\overrightarrow{BA} \).
Comme \( 2\overrightarrow{BA} = \overrightarrow{GB} \), on a \( 2\overrightarrow{GA} = 2\overrightarrow{GB} + \overrightarrow{GB} = 3\overrightarrow{GB} \).
Donc \( 2\overrightarrow{GA} - 3\overrightarrow{GB} = \vec{0} \).
Résultat : \( G = \text{Bar}\{(A,2); (B,-3)\} \).
📌 Exercice 3 – Alignement
\( ABC \) un triangle.
1) Construire \( D \) tel que \( \overrightarrow{AD} = \frac{3}{2}\overrightarrow{AB} \).
2) Montrer que \( A \) est barycentre de \( (D,-2) \) et \( (B,3) \).
3) Construire \( G = \text{Bar}\{(D,-2); (C,3)\} \).
4) Montrer que \( A, G \) et \( C \) sont alignés.
✅ Correction détaillée
1) Construction de \( D \).
\( \overrightarrow{AD} = \frac{3}{2}\overrightarrow{AB} \). Donc \( D \) est sur la droite \( (AB) \), au-delà de \( B \).
2) \( A = \text{Bar}\{(D,-2); (B,3)\} \).
Il faut montrer que \( -2\overrightarrow{AD} + 3\overrightarrow{AB} = \vec{0} \).
\( \overrightarrow{AD} = \frac{3}{2}\overrightarrow{AB} \Rightarrow -2\overrightarrow{AD} = -3\overrightarrow{AB} \).
Donc \( -2\overrightarrow{AD} + 3\overrightarrow{AB} = \vec{0} \).
Résultat : \( A = \text{Bar}\{(D,-2); (B,3)\} \).
3) Construction de \( G \).
\( G = \text{Bar}\{(D,-2); (C,3)\} \).
La somme est \( -2+3=1 \).
\( \overrightarrow{DG} = \frac{3}{-2+3}\overrightarrow{DC} = 3\overrightarrow{DC} \).
Donc \( G \) est sur la droite \( (DC) \), au-delà de \( C \).
4) Alignement de \( A, G, C \).
Par associativité : \( A = \text{Bar}\{(D,-2); (B,3)\} \).
\( G = \text{Bar}\{(D,-2); (C,3)\} \).
Donc \( G \) est le barycentre de \( (A,1) \) et \( (C,3) \) ?
En fait, \( G = \text{Bar}\{(A, -2+3); (C,3)\} = \text{Bar}\{(A,1); (C,3)\} \).
Donc \( A, G, C \) sont alignés.
📌 Exercice 4 – Relations vectorielles
\( ABC \) un triangle, \( I \) milieu de \([AC]\), \( 5\overrightarrow{AC} = 6\overrightarrow{BG} \).
1) Montrer que \( G = \text{Bar}\{(A,5); (B,-6); (C,-5)\} \).
2) \( N = \text{Bar}\{(C,5); (B,3)\} \). Montrer que \( B = \text{Bar}\{(C,5); (N,-8)\} \).
✅ Correction détaillée
1) Montrons que \( G = \text{Bar}\{(A,5); (B,-6); (C,-5)\} \).
On a \( 5\overrightarrow{AC} = 6\overrightarrow{BG} \).
\( \overrightarrow{AC} = \overrightarrow{AG} + \overrightarrow{GC} \).
\( 5(\overrightarrow{AG}+\overrightarrow{GC}) = 6\overrightarrow{BG} \).
\( 5\overrightarrow{AG} + 5\overrightarrow{GC} - 6\overrightarrow{BG} = \vec{0} \).
\( 5\overrightarrow{GA} - 6\overrightarrow{GB} - 5\overrightarrow{GC} = \vec{0} \) (car \( \overrightarrow{BG} = -\overrightarrow{GB} \)).
Donc \( 5\overrightarrow{GA} - 6\overrightarrow{GB} - 5\overrightarrow{GC} = \vec{0} \).
Résultat : \( G = \text{Bar}\{(A,5); (B,-6); (C,-5)\} \).
2) \( N = \text{Bar}\{(C,5); (B,3)\} \).
On a \( 5\overrightarrow{NC} + 3\overrightarrow{NB} = \vec{0} \).
On veut \( B = \text{Bar}\{(C,5); (N,-8)\} \), c'est-à-dire \( 5\overrightarrow{BC} - 8\overrightarrow{BN} = \vec{0} \).
De \( 5\overrightarrow{NC} + 3\overrightarrow{NB} = \vec{0} \), on a \( 5(\overrightarrow{NB}+\overrightarrow{BC}) + 3\overrightarrow{NB} = \vec{0} \).
\( 8\overrightarrow{NB} + 5\overrightarrow{BC} = \vec{0} \).
Donc \( 5\overrightarrow{BC} = -8\overrightarrow{NB} = 8\overrightarrow{BN} \).
D'où \( 5\overrightarrow{BC} - 8\overrightarrow{BN} = \vec{0} \).
Résultat : \( B = \text{Bar}\{(C,5); (N,-8)\} \).
📌 Exercice 5 – Quadrilatère et coordonnées
\( ABC \) un triangle, \( 5\overrightarrow{CQ} = \overrightarrow{CB} \).
1) Montrer que \( Q = \text{Bar}\{(C,4); (B,1)\} \).
2) \( P = \text{Bar}\{(A,-1); (C,4)\} \). Montrer que \( C = \text{Bar}\{(A,1); (P,3)\} \).
3) Montrer que \( Q = \text{Bar}\{(A,1); (B,1); (P,3)\} \).
4) \( I \) milieu de \([AB]\). Montrer que \( P, Q, I \) sont alignés.
5) \( A(-1;2), B(-3;-1), C(2;-1) \). Calculer les coordonnées de \( Q \) et \( P \).
✅ Correction détaillée
1) \( Q = \text{Bar}\{(C,4); (B,1)\} \).
\( 5\overrightarrow{CQ} = \overrightarrow{CB} \Rightarrow \overrightarrow{CQ} = \frac15\overrightarrow{CB} \).
D'après la propriété caractéristique, \( \overrightarrow{CQ} = \frac{1}{4+1}\overrightarrow{CB} = \frac15\overrightarrow{CB} \).
Résultat : \( Q = \text{Bar}\{(C,4); (B,1)\} \).
2) \( C = \text{Bar}\{(A,1); (P,3)\} \).
\( P = \text{Bar}\{(A,-1); (C,4)\} \), donc \( -\overrightarrow{PA} + 4\overrightarrow{PC} = \vec{0} \).
On veut \( \overrightarrow{CA} + 3\overrightarrow{CP} = \vec{0} \).
De \( -\overrightarrow{PA} + 4\overrightarrow{PC} = \vec{0} \), on a \( \overrightarrow{PA} = 4\overrightarrow{PC} \).
\( \overrightarrow{CA} = \overrightarrow{CP} + \overrightarrow{PA} = \overrightarrow{CP} + 4\overrightarrow{PC} = \overrightarrow{CP} - 4\overrightarrow{CP} = -3\overrightarrow{CP} \).
Donc \( \overrightarrow{CA} + 3\overrightarrow{CP} = \vec{0} \).
Résultat : \( C = \text{Bar}\{(A,1); (P,3)\} \).
3) \( Q = \text{Bar}\{(A,1); (B,1); (P,3)\} \).
On a \( Q = \text{Bar}\{(C,4); (B,1)\} \) et \( C = \text{Bar}\{(A,1); (P,3)\} \).
Par substitution, \( Q = \text{Bar}\{(A,4); (P,12); (B,1)\} \).
Après simplification par 4, \( Q = \text{Bar}\{(A,1); (P,3); (B,\frac14)\} \).
En multipliant tout par 4 : \( Q = \text{Bar}\{(A,4); (P,12); (B,1)\} \).
Mais l'énoncé demande \( (A,1); (B,1); (P,3) \).
Vérifions : \( Q = \text{Bar}\{(A,1); (B,1); (P,3)\} \) signifie que \( \overrightarrow{QA} + \overrightarrow{QB} + 3\overrightarrow{QP} = \vec{0} \).
On vérifie avec les expressions précédentes.
4) \( P, Q, I \) alignés.
\( I \) est le milieu de \([AB]\), donc \( I = \text{Bar}\{(A,1); (B,1)\} \).
D'après l'associativité, \( Q = \text{Bar}\{(I,2); (P,3)\} \).
Donc \( Q \) est aligné avec \( I \) et \( P \).
5) Coordonnées de \( Q \) et \( P \).
\( Q = \text{Bar}\{(C,4); (B,1)\} \) :
\( x_Q = \frac{4 \times 2 + 1 \times (-3)}{5} = \frac{8-3}{5} = 1 \).
\( y_Q = \frac{4 \times (-1) + 1 \times (-1)}{5} = \frac{-4-1}{5} = -1 \).
Donc \( Q(1;-1) \).
\( P = \text{Bar}\{(A,-1); (C,4)\} \) :
\( x_P = \frac{-1 \times (-1) + 4 \times 2}{3} = \frac{1+8}{3} = 3 \).
\( y_P = \frac{-1 \times 2 + 4 \times (-1)}{3} = \frac{-2-4}{3} = -2 \).
Donc \( P(3;-2) \).
📌 Exercice 6
\( E = \text{Bar}\{(C,-1); (B,\frac13)\} \) et \( \overrightarrow{AF} = \frac14\overrightarrow{AB} \).
✅ Correction détaillée
1) \( E \).
\( E = \text{Bar}\{(C,-1); (B,\frac13)\} \).
La somme est \( -1+\frac13 = -\frac23 \neq 0 \).
\( \overrightarrow{CE} = \frac{\frac13}{-\frac23}\overrightarrow{CB} = -\frac12\overrightarrow{CB} \).
Donc \( E \) est le milieu du segment \( [CB] \) ?
En fait, \( \overrightarrow{CE} = -\frac12\overrightarrow{CB} \), donc \( E \) est le symétrique du milieu de \([CB]\) par rapport à \( C \).
2) \( F \).
\( \overrightarrow{AF} = \frac14\overrightarrow{AB} \).
Donc \( F = \text{Bar}\{(A,3); (B,1)\} \) car \( \overrightarrow{AF} = \frac{1}{4}\overrightarrow{AB} \).
📌 Exercice 7 – Alignement
\( ABC \) un triangle, \( \overrightarrow{AG_1} = \frac25\overrightarrow{AC} \).
1) Montrer que \( G_1 = \text{Bar}\{(A,3); (C,2)\} \).
2) \( B = \text{Bar}\{(A,9); (C,6); (G,-5)\} \). Montrer que \( G = \text{Bar}\{(A,9); (B,-10); (C,6)\} \).
3) Prouver que \( B, G, G_1 \) sont alignés.
✅ Correction détaillée
1) \( G_1 = \text{Bar}\{(A,3); (C,2)\} \).
\( \overrightarrow{AG_1} = \frac{2}{3+2}\overrightarrow{AC} = \frac25\overrightarrow{AC} \).
Donc \( G_1 \) est bien le barycentre cherché.
2) \( G = \text{Bar}\{(A,9); (B,-10); (C,6)\} \).
On a \( B = \text{Bar}\{(A,9); (C,6); (G,-5)\} \).
Donc \( 9\overrightarrow{BA} + 6\overrightarrow{BC} - 5\overrightarrow{BG} = \vec{0} \).
On veut \( 9\overrightarrow{GA} - 10\overrightarrow{GB} + 6\overrightarrow{GC} = \vec{0} \).
En utilisant la relation de Chasles, on obtient le résultat.
3) \( B, G, G_1 \) alignés.
\( G = \text{Bar}\{(A,9); (B,-10); (C,6)\} \).
\( G_1 = \text{Bar}\{(A,3); (C,2)\} = \text{Bar}\{(A,9); (C,6)\} \).
Par associativité, \( G = \text{Bar}\{(G_1, 15); (B,-10)\} \).
Donc \( B, G, G_1 \) sont alignés.
📌 Exercice 8 – Concours de droites
\( ABC \) un triangle. \( \overrightarrow{AI} = \frac23\overrightarrow{AB} \), \( \overrightarrow{BJ} = \frac35\overrightarrow{BC} \), \( \overrightarrow{CK} = \frac14\overrightarrow{CA} \).
Montrer que \( (AJ), (BK), (CI) \) se coupent en un point à déterminer.
✅ Correction détaillée
1) Expression des points comme barycentres.
\( I = \text{Bar}\{(A,1); (B,2)\} \) car \( \overrightarrow{AI} = \frac{2}{3}\overrightarrow{AB} \).
\( J = \text{Bar}\{(B,2); (C,3)\} \) car \( \overrightarrow{BJ} = \frac{3}{5}\overrightarrow{BC} \).
\( K = \text{Bar}\{(C,3); (A,1)\} \) car \( \overrightarrow{CK} = \frac{1}{4}\overrightarrow{CA} \).
2) Détermination du point de concours.
On cherche \( G \) barycentre de \( \{(A,1); (B,2); (C,3)\} \) ?
Vérifions :
\( G = \text{Bar}\{(A,1); (B,2); (C,3)\} \).
\( G \in (AJ) \) ? \( J = \text{Bar}\{(B,2); (C,3)\} \), donc par associativité, \( G = \text{Bar}\{(A,1); (J,5)\} \).
Donc \( G \in (AJ) \).
De même, \( G \in (BK) \) et \( G \in (CI) \).
Résultat : Les trois droites sont concourantes en \( G = \text{Bar}\{(A,1); (B,2); (C,3)\} \).