Résumé de cours - Tronc commun Sciences BIOF

📌

A) Généralités sur les vecteurs

Soient \(A\) et \(B\) deux points du plan \((\mathcal{P})\). Un vecteur \(\overrightarrow{AB}\) est défini par trois données :

  • sa direction : celle de la droite \((AB)\) ;
  • son sens : de \(A\) vers \(B\) ;
  • sa norme (longueur) : la distance \(AB\), notée \(\|\overrightarrow{AB}\| = AB\).
⚠️ Remarque

Si \(A = B\), le vecteur est nul : \(\overrightarrow{AA} = \vec{0}\).

Deux vecteurs sont égaux s'ils ont même direction, même sens et même norme.

\(\overrightarrow{AB} = -\overrightarrow{BA}\) (les vecteurs \(\overrightarrow{AB}\) et \(\overrightarrow{BA}\) sont opposés).

📌 Somme de deux vecteurs

a) Relation de Chasles : Soient \(A, B, C\) trois points du plan.

\[ \overrightarrow{AB} + \overrightarrow{BC} = \overrightarrow{AC} \]

b) Règle du parallélogramme : La somme des vecteurs \(\overrightarrow{AB}\) et \(\overrightarrow{AC}\) est le vecteur \(\overrightarrow{AD} = \overrightarrow{AB} + \overrightarrow{AC}\) tel que \(ABCD\) est un parallélogramme.

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B) Produit d'un vecteur par un réel

📌 Définition

On appelle produit du vecteur \(\vec{u}\) par le réel \(k\) le vecteur noté \(k\vec{u}\) :

  • de même direction que \(\vec{u}\) ;
  • de même sens que \(\vec{u}\) si \(k > 0\), de sens contraire si \(k < 0\) ;
  • de norme égale à \(|k|\) fois la norme de \(\vec{u}\).

Notion de colinéarité

📌 Définition

Deux vecteurs non nuls \(\vec{u}\) et \(\vec{v}\) sont colinéaires s'il existe un réel \(k\) tel que \(\vec{u} = k\vec{v}\).

📌 Propriétés

Soient \(A, B, C, D\) des points deux à deux distincts.

  • \((AB) \parallel (CD) \iff \overrightarrow{AB}\) et \(\overrightarrow{CD}\) sont colinéaires.
  • \(A, B, C\) alignés \(\iff \overrightarrow{AB}\) et \(\overrightarrow{AC}\) sont colinéaires.

Milieu d'un segment

📌 Propriétés

Si \(I\) est le milieu du segment \([AB]\), alors :

  • \(\overrightarrow{IA} + \overrightarrow{IB} = \vec{0}\)
  • \(\overrightarrow{AI} = \overrightarrow{IB}\)
  • \(\overrightarrow{AI} = \frac{1}{2}\overrightarrow{AB}\)
📌 Caractérisation du milieu

\(I\) est le milieu de \([AB]\) si et seulement si pour tout point \(M\) du plan :

\[ \overrightarrow{MA} + \overrightarrow{MB} = 2\overrightarrow{MI} \]

📝 Formulaire à retenir

\[ \overrightarrow{AB} + \overrightarrow{BC} = \overrightarrow{AC} \quad \text{(Chasles)} \]
\[ \overrightarrow{AB} = \overrightarrow{DC} \iff ABCD \text{ parallélogramme} \]
\[ k\vec{u} : \text{même direction, même sens si } k>0, \text{ sens contraire si } k<0 \]
\[ \vec{u} \text{ et } \vec{v} \text{ colinéaires} \iff \exists k \in \mathbb{R}, \vec{u} = k\vec{v} \]
\[ I \text{ milieu de } [AB] \iff \overrightarrow{IA} + \overrightarrow{IB} = \vec{0} \]