Exercices corrigés - Tronc commun Sciences BIOF

Égalité de vecteurs
📌 Question

Soit un parallélogramme \(ABCD\). Compléter les égalités suivantes :

1) \( \overrightarrow{AB} = \overrightarrow{...} \)

2) \( \overrightarrow{BC} = \overrightarrow{...} \)

3) \( \overrightarrow{AB} + \overrightarrow{AD} = \overrightarrow{...} \)

✅ Corrigé

Dans un parallélogramme \(ABCD\) :

\[ \overrightarrow{AB} = \overrightarrow{DC} \]
\[ \overrightarrow{BC} = \overrightarrow{AD} \]
\[ \overrightarrow{AB} + \overrightarrow{AD} = \overrightarrow{AC} \]
Relation de Chasles
📌 Question

Simplifier les expressions vectorielles suivantes :

1) \( \vec{U} = \overrightarrow{AB} + \overrightarrow{BC} + \overrightarrow{CD} \)

2) \( \vec{V} = \overrightarrow{AB} - \overrightarrow{AC} + \overrightarrow{BC} \)

3) \( \vec{W} = \overrightarrow{AB} + \overrightarrow{BC} + \overrightarrow{CA} \)

✅ Corrigé

1) \( \vec{U} = \overrightarrow{AB} + \overrightarrow{BC} + \overrightarrow{CD} = \overrightarrow{AD} \)

2) \( \vec{V} = \overrightarrow{AB} - \overrightarrow{AC} + \overrightarrow{BC} = \overrightarrow{AB} + \overrightarrow{CA} + \overrightarrow{BC} = \overrightarrow{AB} + \overrightarrow{BA} = \vec{0} \)

3) \( \vec{W} = \overrightarrow{AB} + \overrightarrow{BC} + \overrightarrow{CA} = \overrightarrow{AC} + \overrightarrow{CA} = \vec{0} \)

Colinéarité
📌 Question

Dans chaque cas, déterminer si les vecteurs sont colinéaires :

1) \( \vec{u}(2; -4) \) et \( \vec{v}(-3; 6) \)

2) \( \vec{u}(5; 2) \) et \( \vec{v}(10; 4) \)

3) \( \vec{u}(3; 1) \) et \( \vec{v}(6; 3) \)

✅ Corrigé

Deux vecteurs \( \vec{u}(x;y) \) et \( \vec{v}(x';y') \) sont colinéaires ssi \( xy' - x'y = 0 \).

1) \( 2 \times 6 - (-4) \times (-3) = 12 - 12 = 0 \) → Colinéaires

2) \( 5 \times 4 - 2 \times 10 = 20 - 20 = 0 \) → Colinéaires

3) \( 3 \times 3 - 1 \times 6 = 9 - 6 = 3 \neq 0 \) → Non colinéaires

Milieu d'un segment
📌 Question

Soit \( I \) le milieu de \([AB]\) et \( J \) le milieu de \([CD]\).

Montrer que : \( \overrightarrow{AB} + \overrightarrow{CD} = 2\overrightarrow{IJ} \)

✅ Corrigé

On a : \( \overrightarrow{IJ} = \overrightarrow{IA} + \overrightarrow{AC} + \overrightarrow{CJ} \)

et \( \overrightarrow{IJ} = \overrightarrow{IB} + \overrightarrow{BD} + \overrightarrow{DJ} \)

En additionnant : \( 2\overrightarrow{IJ} = (\overrightarrow{IA} + \overrightarrow{IB}) + (\overrightarrow{AC} + \overrightarrow{BD}) + (\overrightarrow{CJ} + \overrightarrow{DJ}) \)

Comme \( I \) est milieu de \([AB]\), \( \overrightarrow{IA} + \overrightarrow{IB} = \vec{0} \)

Comme \( J \) est milieu de \([CD]\), \( \overrightarrow{CJ} + \overrightarrow{DJ} = \vec{0} \)

Donc \( 2\overrightarrow{IJ} = \overrightarrow{AC} + \overrightarrow{BD} = \overrightarrow{AB} + \overrightarrow{BC} + \overrightarrow{BC} + \overrightarrow{CD} \)

D'où le résultat.

Multiplication par un réel
📌 Question

Soit \( \vec{u} \) un vecteur. Construire les vecteurs :

1) \( 2\vec{u} \)

2) \( -3\vec{u} \)

3) \( \frac{1}{2}\vec{u} \)

✅ Corrigé

• \( 2\vec{u} \) a la même direction et le même sens que \( \vec{u} \), sa norme est \( 2\|\vec{u}\| \).

• \( -3\vec{u} \) a la même direction que \( \vec{u} \), le sens contraire, sa norme est \( 3\|\vec{u}\| \).

• \( \frac{1}{2}\vec{u} \) a la même direction et le même sens que \( \vec{u} \), sa norme est \( \frac{1}{2}\|\vec{u}\| \).

 

Modifié le: mercredi 10 juin 2026, 12:30