- Tronc commun Sciences BIOF

 
Composition de vecteurs
📌 Énoncé

Soit \(ABCD\) un parallélogramme de centre \(O\). Exprimer en fonction de \(\overrightarrow{AB}\) et \(\overrightarrow{AD}\) les vecteurs suivants :

a) \(\overrightarrow{AC}\)
b) \(\overrightarrow{BD}\)
c) \(\overrightarrow{OA}\)
d) \(\overrightarrow{OB}\)
✅ Corrigé

a) \(\overrightarrow{AC} = \overrightarrow{AB} + \overrightarrow{AD}\)

b) \(\overrightarrow{BD} = \overrightarrow{BA} + \overrightarrow{AD} = -\overrightarrow{AB} + \overrightarrow{AD}\)

c) \(\overrightarrow{OA} = -\frac{1}{2}\overrightarrow{AC} = -\frac{1}{2}(\overrightarrow{AB} + \overrightarrow{AD})\)

d) \(\overrightarrow{OB} = \overrightarrow{OA} + \overrightarrow{AB} = -\frac{1}{2}(\overrightarrow{AB} + \overrightarrow{AD}) + \overrightarrow{AB} = \frac{1}{2}\overrightarrow{AB} - \frac{1}{2}\overrightarrow{AD}\)

Alignement de points
📌 Énoncé

Soit \(ABC\) un triangle. On définit les points \(M\) et \(N\) par :

\[ \overrightarrow{AM} = \frac{1}{3}\overrightarrow{AB} \quad \text{et} \quad \overrightarrow{AN} = \frac{1}{3}\overrightarrow{AC} \]

Montrer que \((MN) \parallel (BC)\).

✅ Corrigé

On calcule \(\overrightarrow{MN} = \overrightarrow{MA} + \overrightarrow{AN}\)

\[ \overrightarrow{MN} = -\frac{1}{3}\overrightarrow{AB} + \frac{1}{3}\overrightarrow{AC} \]
\[ \overrightarrow{MN} = \frac{1}{3}(-\overrightarrow{AB} + \overrightarrow{AC}) = \frac{1}{3}\overrightarrow{BC} \]

Donc \(\overrightarrow{MN}\) et \(\overrightarrow{BC}\) sont colinéaires, ce qui signifie que \((MN) \parallel (BC)\).

Problème de synthèse
📌 Énoncé

Soit \(ABCD\) un parallélogramme. Les points \(E\) et \(F\) sont définis par :

\[ \overrightarrow{AE} = \frac{2}{3}\overrightarrow{AB} \quad \text{et} \quad \overrightarrow{AF} = \frac{3}{2}\overrightarrow{AD} \]

Exprimer \(\overrightarrow{EF}\) en fonction de \(\overrightarrow{AB}\) et \(\overrightarrow{AD}\). Que peut-on dire des points \(E, C, F\) ?

✅ Corrigé

\(\overrightarrow{EF} = \overrightarrow{EA} + \overrightarrow{AF} = -\frac{2}{3}\overrightarrow{AB} + \frac{3}{2}\overrightarrow{AD}\)

\(\overrightarrow{EC} = \overrightarrow{EA} + \overrightarrow{AC} = -\frac{2}{3}\overrightarrow{AB} + (\overrightarrow{AB} + \overrightarrow{AD}) = \frac{1}{3}\overrightarrow{AB} + \overrightarrow{AD}\)

On constate que \(\overrightarrow{EF} = 2\overrightarrow{EC}\), donc \(E, C, F\) sont alignés.

Projection et colinéarité
📌 Énoncé

Soit \(ABC\) un triangle. \(M\) est le milieu de \([AB]\) et \(N\) le milieu de \([AC]\).

Montrer que \((MN) \parallel (BC)\) en utilisant la colinéarité.

✅ Corrigé

On a : \(\overrightarrow{AM} = \frac{1}{2}\overrightarrow{AB}\) et \(\overrightarrow{AN} = \frac{1}{2}\overrightarrow{AC}\)

\[ \overrightarrow{MN} = \overrightarrow{MA} + \overrightarrow{AN} = -\frac{1}{2}\overrightarrow{AB} + \frac{1}{2}\overrightarrow{AC} = \frac{1}{2}(-\overrightarrow{AB} + \overrightarrow{AC}) = \frac{1}{2}\overrightarrow{BC} \]

\(\overrightarrow{MN}\) est colinéaire à \(\overrightarrow{BC}\), donc \((MN) \parallel (BC)\).

Points alignés
📌 Énoncé

Dans un repère orthonormé \((O; \vec{i}, \vec{j})\), on donne les points :

\[ A(2; -1), \quad B(5; 3), \quad C(-1; 2) \]

Les points \(A, B, C\) sont-ils alignés ? Justifier.

✅ Corrigé

Calculons les vecteurs :

\[ \overrightarrow{AB}(5-2; 3-(-1)) = (3; 4) \]
\[ \overrightarrow{AC}(-1-2; 2-(-1)) = (-3; 3) \]

Vérifions la colinéarité : \(3 \times 3 - 4 \times (-3) = 9 + 12 = 21 \neq 0\)

Les vecteurs ne sont pas colinéaires, donc \(A, B, C\) ne sont pas alignés.

Barycentre simple
📌 Énoncé

Soit \(ABC\) un triangle. Construire le point \(G\) tel que :

\[ \overrightarrow{GA} + \overrightarrow{GB} + \overrightarrow{GC} = \vec{0} \]

Exprimer \(\overrightarrow{AG}\) en fonction de \(\overrightarrow{AB}\) et \(\overrightarrow{AC}\).

✅ Corrigé

On a \(\overrightarrow{GA} + \overrightarrow{GB} + \overrightarrow{GC} = \vec{0}\)

\(\overrightarrow{GA} + (\overrightarrow{GA} + \overrightarrow{AB}) + (\overrightarrow{GA} + \overrightarrow{AC}) = \vec{0}\)

\(3\overrightarrow{GA} + \overrightarrow{AB} + \overrightarrow{AC} = \vec{0}\)

\(-3\overrightarrow{AG} + \overrightarrow{AB} + \overrightarrow{AC} = \vec{0}\)

\[ \overrightarrow{AG} = \frac{1}{3}(\overrightarrow{AB} + \overrightarrow{AC}) \]

\(G\) est le centre de gravité du triangle \(ABC\).

Théorème de la médiane
📌 Énoncé

Soit \(ABC\) un triangle et \(I\) le milieu de \([BC]\). Démontrer que :

\[ \overrightarrow{AB} + \overrightarrow{AC} = 2\overrightarrow{AI} \]
✅ Corrigé

On a : \(\overrightarrow{AB} = \overrightarrow{AI} + \overrightarrow{IB}\)

\(\overrightarrow{AC} = \overrightarrow{AI} + \overrightarrow{IC}\)

En additionnant : \(\overrightarrow{AB} + \overrightarrow{AC} = 2\overrightarrow{AI} + \overrightarrow{IB} + \overrightarrow{IC}\)

Comme \(I\) est le milieu de \([BC]\), \(\overrightarrow{IB} + \overrightarrow{IC} = \vec{0}\)

\[ \overrightarrow{AB} + \overrightarrow{AC} = 2\overrightarrow{AI} \]
 

Modifié le: mercredi 10 juin 2026, 13:23