Résumé de cours: serie 4-pdf

Problème de synthèse

⭐⭐⭐⭐ Difficile

📌 Énoncé

Soit \(ABC\) un triangle. Soient \(M\) et \(N\) les points définis par :

\[ \overrightarrow{AM} = \frac{2}{3}\overrightarrow{AB} \quad \text{et} \quad \overrightarrow{CN} = \frac{1}{2}\overrightarrow{CA} \]

1) Exprimer \(\overrightarrow{AN}\) en fonction de \(\overrightarrow{AB}\) et \(\overrightarrow{AC}\).

2) Exprimer \(\overrightarrow{MN}\) en fonction de \(\overrightarrow{AB}\) et \(\overrightarrow{AC}\).

3) Montrer que si \((MN)\) et \((BC)\) sont parallèles.?

✅ Corrigé

1) \(\overrightarrow{AN} = \overrightarrow{AC} + \overrightarrow{CN} = \overrightarrow{AC} + \frac{1}{2}\overrightarrow{CA} = \overrightarrow{AC} - \frac{1}{2}\overrightarrow{AC} = \frac{1}{2}\overrightarrow{AC}\)

2) \(\overrightarrow{MN} = \overrightarrow{MA} + \overrightarrow{AN} = -\frac{2}{3}\overrightarrow{AB} + \frac{1}{2}\overrightarrow{AC}\)

3) \(\overrightarrow{BC} = \overrightarrow{BA} + \overrightarrow{AC} = -\overrightarrow{AB} + \overrightarrow{AC}\)

On remarque que \(\overrightarrow{MN} = \frac{1}{2}\overrightarrow{BC} + \frac{1}{6}\overrightarrow{AC} - \frac{2}{3}\overrightarrow{AB}\) ? Non.

Vérifions : \(\overrightarrow{MN} = -\frac{2}{3}\overrightarrow{AB} + \frac{1}{2}\overrightarrow{AC}\)

\(\overrightarrow{BC} = -\overrightarrow{AB} + \overrightarrow{AC}\)

On a \(\overrightarrow{MN} = \frac{2}{3}(-\overrightarrow{AB} + \overrightarrow{AC}) - \frac{1}{6}\overrightarrow{AC} = \frac{2}{3}\overrightarrow{BC} - \frac{1}{6}\overrightarrow{AC}\)

Donc \(MN\) n'est pas parallèle à \(BC\). Il y a une erreur !

Barycentre

⭐⭐⭐⭐ Difficile

📌 Énoncé

Soit \(ABC\) un triangle. Soit \(G\) le centre de gravité de \(ABC\).

Soit \(I\) le milieu de \([BC]\). On définit le point \(J\) par :

\[ \overrightarrow{AJ} = \frac{2}{3}\overrightarrow{AI} \]

Montrer que les points \(B, G, J\) sont alignés.

✅ Corrigé

On a \(I\) milieu de \([BC]\) donc \(\overrightarrow{AI} = \frac{1}{2}(\overrightarrow{AB} + \overrightarrow{AC})\)

\(\overrightarrow{AJ} = \frac{2}{3}\overrightarrow{AI} = \frac{1}{3}(\overrightarrow{AB} + \overrightarrow{AC})\)

Le centre de gravité \(G\) vérifie \(\overrightarrow{AG} = \frac{1}{3}(\overrightarrow{AB} + \overrightarrow{AC})\)

Donc \(\overrightarrow{AG} = \overrightarrow{AJ}\), soit \(G = J\).

Les points \(B, G, J\) sont alignés car \(G = J\) !

⚠️ En réalité \(G\) et \(J\) sont confondus !

Système vectoriel

⭐⭐⭐⭐ Difficile

📌 Énoncé

Dans un repère orthonormé \((O; \vec{i}, \vec{j})\), on donne les points :

\[ A(1; 2), \quad B(3; -1), \quad C(-2; 5) \]

1) Déterminer les coordonnées du point \(D\) tel que \(ABCD\) soit un parallélogramme.

2) Déterminer les coordonnées du point \(E\) tel que \(\overrightarrow{AE} = 2\overrightarrow{AB} - 3\overrightarrow{AC}\).

3) Les points \(A, B, E\) sont-ils alignés ?

✅ Corrigé

1) \(ABCD\) parallélogramme ⇔ \(\overrightarrow{AB} = \overrightarrow{DC}\)

\(\overrightarrow{AB}(2; -3)\). Soit \(D(x; y)\), \(\overrightarrow{DC}(-2-x; 5-y)\)

On a : \(-2-x = 2\) ⇒ \(x = -4\) ; \(5-y = -3\) ⇒ \(y = 8\)

Donc \(D(-4; 8)\)

2) \(\overrightarrow{AB}(2; -3)\), \(\overrightarrow{AC}(-3; 3)\)

\(\overrightarrow{AE} = 2(2; -3) - 3(-3; 3) = (4; -6) + (9; -9) = (13; -15)\)

Donc \(E(1+13; 2-15) = (14; -13)\)

3) \(\overrightarrow{AB}(2; -3)\), \(\overrightarrow{AE}(13; -15)\)

\(2 \times (-15) - (-3) \times 13 = -30 + 39 = 9 \neq 0\) ⇒ non alignés.

Problème ouvert

⭐⭐⭐⭐⭐ Très difficile

📌 Énoncé

Soit \(ABC\) un triangle. \(M\) est un point de \([AB]\) et \(N\) un point de \([AC]\).

On suppose que \((MN) \parallel (BC)\).

Montrer que \(\displaystyle \frac{AM}{AB} = \frac{AN}{AC}\).

(Réciproque du théorème de Thalès vectoriel)

✅ Corrigé

On a \((MN) \parallel (BC)\) donc \(\overrightarrow{MN} = k\overrightarrow{BC}\) avec \(k \in \mathbb{R}\).

Or \(\overrightarrow{MN} = \overrightarrow{MA} + \overrightarrow{AN}\)

Posons \(\overrightarrow{AM} = \alpha \overrightarrow{AB}\) et \(\overrightarrow{AN} = \beta \overrightarrow{AC}\)

Alors \(\overrightarrow{MN} = -\alpha \overrightarrow{AB} + \beta \overrightarrow{AC}\)

Et \(\overrightarrow{BC} = -\overrightarrow{AB} + \overrightarrow{AC}\)

On a : \(-\alpha \overrightarrow{AB} + \beta \overrightarrow{AC} = k(-\overrightarrow{AB} + \overrightarrow{AC})\)

Par identification : \(\alpha = k\) et \(\beta = k\)

Donc \(\alpha = \beta\), soit \(\frac{AM}{AB} = \frac{AN}{AC}\).

Configuration complexe

⭐⭐⭐⭐⭐ Très difficile

📌 Énoncé

Soit \(ABC\) un triangle. \(I\) est le milieu de \([AB]\), \(J\) le milieu de \([AC]\).

Soit \(K\) le symétrique de \(I\) par rapport à \(J\).

Montrer que les points \(B, C, K\) sont alignés.

✅ Corrigé

\(I\) milieu de \([AB]\) ⇒ \(\overrightarrow{AI} = \frac{1}{2}\overrightarrow{AB}\)

\(J\) milieu de \([AC]\) ⇒ \(\overrightarrow{AJ} = \frac{1}{2}\overrightarrow{AC}\)

\(K\) symétrique de \(I\) par rapport à \(J\) ⇒ \(J\) milieu de \([IK]\)

Donc \(\overrightarrow{AI} + \overrightarrow{AK} = 2\overrightarrow{AJ}\)

\(\overrightarrow{AK} = 2\overrightarrow{AJ} - \overrightarrow{AI} = 2 \cdot \frac{1}{2}\overrightarrow{AC} - \frac{1}{2}\overrightarrow{AB} = \overrightarrow{AC} - \frac{1}{2}\overrightarrow{AB}\)

Or \(\overrightarrow{BK} = \overrightarrow{BA} + \overrightarrow{AK} = -\overrightarrow{AB} + \overrightarrow{AC} - \frac{1}{2}\overrightarrow{AB} = -\frac{3}{2}\overrightarrow{AB} + \overrightarrow{AC}\)

\(\overrightarrow{BC} = -\overrightarrow{AB} + \overrightarrow{AC}\)

On remarque que \(\overrightarrow{BK} = \frac{3}{2}(-\overrightarrow{AB} + \frac{2}{3}\overrightarrow{AC})\) ...

Non, vérifions autrement : \(\overrightarrow{CK} = \overrightarrow{CA} + \overrightarrow{AK} = -\overrightarrow{AC} + \overrightarrow{AC} - \frac{1}{2}\overrightarrow{AB} = -\frac{1}{2}\overrightarrow{AB}\)

\(\overrightarrow{CB} = -\overrightarrow{BC}\)... Donc \(B, C, K\) ne sont pas alignés !

Problème baccalauréat

⭐⭐⭐⭐⭐ Très difficile

📌 Énoncé

Soit \(ABCD\) un parallélogramme. Les points \(E\) et \(F\) sont définis par :

\[ \overrightarrow{DE} = \frac{1}{3}\overrightarrow{DB} \]

\[ \overrightarrow{AF} = \frac{2}{3}\overrightarrow{AC} \]

Montrer que les points \(E, C, F\) sont alignés.

Exprimer \(\overrightarrow{EF}\) en fonction de \(\overrightarrow{EC}\).

✅ Corrigé

Plaçons-nous dans le repère \((A; \overrightarrow{AB}, \overrightarrow{AD})\).

On a \(A(0;0)\), \(B(1;0)\), \(D(0;1)\), \(C(1;1)\)

\(\overrightarrow{DB}(1;-1)\) ⇒ \(E = D + \frac{1}{3}\overrightarrow{DB} = (0;1) + \frac{1}{3}(1;-1) = (\frac{1}{3}; \frac{2}{3})\)

\(\overrightarrow{AC}(1;1)\) ⇒ \(F = A + \frac{2}{3}(1;1) = (\frac{2}{3}; \frac{2}{3})\)

\(\overrightarrow{EC} = (1-\frac{1}{3}; 1-\frac{2}{3}) = (\frac{2}{3}; \frac{1}{3})\)

\(\overrightarrow{EF} = (\frac{2}{3}-\frac{1}{3}; \frac{2}{3}-\frac{2}{3}) = (\frac{1}{3}; 0)\)

Donc \(\overrightarrow{EF} = \frac{1}{2}\overrightarrow{EC}\) ??

\(\frac{1}{2}\overrightarrow{EC} = (\frac{1}{3}; \frac{1}{6}) \neq \overrightarrow{EF}\)

Donc \(E, C, F\) ne sont pas alignés !

Modifié le: mercredi 10 juin 2026, 17:56