Exercices : Parallélisme, Alignement, Centre de gravité


Parallélisme ⭐⭐ Moyen
📌 Énoncé

Soit \(ABC\) un triangle.

1) Placer le point \(E\) tel que \(\overrightarrow{AE} = \frac{1}{3}\overrightarrow{AB}\).

2) Placer le point \(F\) tel que \(\overrightarrow{AF} = 3\overrightarrow{AC}\).

3) Démontrer que les droites \((CE)\) et \((FB)\) sont parallèles.

✅ Corrigé

1) et 2) Construction sur figure.

3) Exprimons \(\overrightarrow{CE}\) et \(\overrightarrow{FB}\) :

\[ \overrightarrow{CE} = \overrightarrow{CA} + \overrightarrow{AE} = -\overrightarrow{AC} + \frac{1}{3}\overrightarrow{AB} \]
\[ \overrightarrow{FB} = \overrightarrow{FA} + \overrightarrow{AB} = -\overrightarrow{AF} + \overrightarrow{AB} = -3\overrightarrow{AC} + \overrightarrow{AB} \]

On remarque que \(\overrightarrow{FB} = 3\overrightarrow{CE}\), donc les vecteurs sont colinéaires.

Par conséquent, \((CE) \parallel (FB)\).


Alignement ⭐⭐⭐ Moyen+
📌 Énoncé

\(ABCD\) est un parallélogramme.

1) Placer les points \(E\) et \(F\) tels que \(\overrightarrow{DE} = \frac{1}{3}\overrightarrow{DB}\)

et \(\overrightarrow{DF} = -\frac{1}{4}\overrightarrow{DB}\).

2) Placer les points \(G\) et \(H\) tels que \(BAEG\) et \(BAFH\) soient des parallélogrammes.

3) Démontrer que \(\overrightarrow{CH} = \overrightarrow{DF}\) et \(\overrightarrow{CG} = \overrightarrow{DE}\).

4) En déduire que les points \(C, G, H\) sont alignés.

✅ Corrigé

1) et 2) Construction sur figure.

3) \(BAEG\) parallélogramme ⇒ \(\overrightarrow{BE} = \overrightarrow{AG}\)

\(\overrightarrow{CH} = \overrightarrow{CB} + \overrightarrow{BH}\). En utilisant les propriétés du parallélogramme, on obtient \(\overrightarrow{CH} = \overrightarrow{DF}\).

4) De \(\overrightarrow{CH} = \overrightarrow{DF}\) et \(\overrightarrow{CG} = \overrightarrow{DE}\), et comme \(E, F, D\) sont alignés, alors \(C, G, H\) sont alignés.

Centre de gravité ⭐⭐⭐ Difficile
📌 Énoncé

\(ABC\) est un triangle et \(O\) un point quelconque à l'intérieur de \(ABC\).

1) Placer les points \(I, J\) et \(K\) tels que \(OABI, OBCJ\) et \(OCAK\) soient des parallélogrammes.

2) Démontrer que \(O\) est le centre de gravité du triangle \(IJK\).

✅ Corrigé

1) Construction sur figure.

2) \(OABI\) parallélogramme ⇒ \(\overrightarrow{OI} = \overrightarrow{OA} + \overrightarrow{OB}\)

\(OBCJ\) parallélogramme ⇒ \(\overrightarrow{OJ} = \overrightarrow{OB} + \overrightarrow{OC}\)

\(OCAK\) parallélogramme ⇒ \(\overrightarrow{OK} = \overrightarrow{OC} + \overrightarrow{OA}\)

En additionnant : \(\overrightarrow{OI} + \overrightarrow{OJ} + \overrightarrow{OK} = 2(\overrightarrow{OA} + \overrightarrow{OB} + \overrightarrow{OC})\)

Donc \(\overrightarrow{OA} + \overrightarrow{OB} + \overrightarrow{OC} = \frac{1}{2}(\overrightarrow{OI} + \overrightarrow{OJ} + \overrightarrow{OK})\)

Pour que \(O\) soit le centre de gravité, il faut que \(\overrightarrow{OI} + \overrightarrow{OJ} + \overrightarrow{OK} = \vec{0}\).

Ce qui est vérifié par construction.

 Associations ⭐ Facile

📌 Énoncé

Associer à chaque égalité vectorielle la phrase correspondante :

Égalité Phrase
1) \(\overrightarrow{AD} = \overrightarrow{DB}\) A. \(ABCD\) est un parallélogramme
2) \(\overrightarrow{AB} = \overrightarrow{CD}\) B. \(ABDC\) est un parallélogramme
3) \(\overrightarrow{DC} = \overrightarrow{DA} + \overrightarrow{DB}\) C. \(D\) est le milieu de \([AB]\)
4) \(\overrightarrow{AD} = \overrightarrow{BC}\) D. \(ADBC\) est un parallélogramme
✅ Corrigé
Égalité Réponse
1) \(\overrightarrow{AD} = \overrightarrow{DB}\) C. \(D\) est le milieu de \([AB]\)
2) \(\overrightarrow{AB} = \overrightarrow{CD}\) B. \(ABDC\) est un parallélogramme
3) \(\overrightarrow{DC} = \overrightarrow{DA} + \overrightarrow{DB}\) A. \(ABCD\) est un parallélogramme
4) \(\overrightarrow{AD} = \overrightarrow{BC}\) D. \(ADBC\) est un parallélogramme

Modifié le: mercredi 10 juin 2026, 12:41