Série complète - Exercices difficiles avec corrigés

 Barycentre et centre de gravité ⭐⭐⭐⭐ Difficile
📌 Énoncé

Soit \(ABC\) un triangle. \(G\) est le centre de gravité de \(ABC\).

Démontrer que pour tout point \(M\) du plan :
\( \overrightarrow{MA} + \overrightarrow{MB} + \overrightarrow{MC} = 3\overrightarrow{MG} \)
✅ Corrigé

On écrit chaque vecteur en passant par \(G\) :
\( \overrightarrow{MA} = \overrightarrow{MG} + \overrightarrow{GA} \)
\( \overrightarrow{MB} = \overrightarrow{MG} + \overrightarrow{GB} \)
\( \overrightarrow{MC} = \overrightarrow{MG} + \overrightarrow{GC} \)
En additionnant :
\( \overrightarrow{MA} + \overrightarrow{MB} + \overrightarrow{MC} = 3\overrightarrow{MG} + (\overrightarrow{GA} + \overrightarrow{GB} + \overrightarrow{GC}) \)
Or \(G\) est le centre de gravité, donc \(\overrightarrow{GA} + \overrightarrow{GB} + \overrightarrow{GC} = \vec{0}\).

\( \boxed{\overrightarrow{MA} + \overrightarrow{MB} + \overrightarrow{MC} = 3\overrightarrow{MG}} \)
Points alignés ⭐⭐⭐⭐ Difficile
📌 Énoncé

Soit \(ABC\) un triangle. Les points \(E\) et \(F\) sont définis par :
\( \overrightarrow{AE} = \frac{1}{3}\overrightarrow{AB} \quad \text{et} \quad \overrightarrow{AF} = 3\overrightarrow{AC} \)
Démontrer que les points \(E, C, F\) sont alignés.
✅ Corrigé

\( \overrightarrow{EC} = \overrightarrow{EA} + \overrightarrow{AC} = -\frac{1}{3}\overrightarrow{AB} + \overrightarrow{AC} \)
\( \overrightarrow{EF} = \overrightarrow{EA} + \overrightarrow{AF} = -\frac{1}{3}\overrightarrow{AB} + 3\overrightarrow{AC} \)
On remarque que \(\overrightarrow{EF} = 3\overrightarrow{EC}\).
Les vecteurs \(\overrightarrow{EC}\) et \(\overrightarrow{EF}\) sont colinéaires.
Donc \(E, C, F\) sont alignés.
Théorème de la médiane ⭐⭐⭐⭐ Difficile
📌 Énoncé

Soit \(ABC\) un triangle et \(I\) le milieu de \([BC]\). Démontrer que :
\( \overrightarrow{AB} + \overrightarrow{AC} = 2\overrightarrow{AI} \)
✅ Corrigé

\( \overrightarrow{AB} = \overrightarrow{AI} + \overrightarrow{IB} \)
\( \overrightarrow{AC} = \overrightarrow{AI} + \overrightarrow{IC} \)
En additionnant :
\( \overrightarrow{AB} + \overrightarrow{AC} = 2\overrightarrow{AI} + (\overrightarrow{IB} + \overrightarrow{IC}) \)
Comme \(I\) est le milieu de \([BC]\), \(\overrightarrow{IB} + \overrightarrow{IC} = \vec{0}\).

\( \boxed{\overrightarrow{AB} + \overrightarrow{AC} = 2\overrightarrow{AI}} \)
Problème de synthèse ⭐⭐⭐⭐⭐ Très difficile
📌 Énoncé

Soit \(ABCD\) un parallélogramme. Les points \(E\) et \(F\) sont définis par :
\( \overrightarrow{AE} = \frac{2}{3}\overrightarrow{AB} \quad \text{et} \quad \overrightarrow{AF} = \frac{3}{2}\overrightarrow{AD} \)
1) Exprimer \(\overrightarrow{EF}\) en fonction de \(\overrightarrow{AB}\) et \(\overrightarrow{AD}\).
2) Montrer que les points \(E, C, F\) sont alignés.
✅ Corrigé

1)
\( \overrightarrow{EF} = \overrightarrow{EA} + \overrightarrow{AF} = -\frac{2}{3}\overrightarrow{AB} + \frac{3}{2}\overrightarrow{AD} \)
2)
\( \overrightarrow{EC} = \overrightarrow{EA} + \overrightarrow{AC} = -\frac{2}{3}\overrightarrow{AB} + (\overrightarrow{AB} + \overrightarrow{AD}) = \frac{1}{3}\overrightarrow{AB} + \overrightarrow{AD} \)
On constate que \(\overrightarrow{EF} = 2\overrightarrow{EC}\).
Donc \(E, C, F\) sont alignés.