Projection : Projection dans le plan

Tronc commun Sciences BIOF – Cours complet

📌 A) Projection d'un point sur une droite parallèlement à une autre droite

Soient (D) et (Δ) deux droites sécantes en un point A, et M un point du plan. La droite qui passe par M et parallèle à (Δ) coupe (D) en un point M'.

Figure 1 : Projection d'un point sur (D) parallèlement à (Δ)

📖 Définition

Le point M' est appelé la projection du point M sur (D) parallèlement à (Δ).

On dit aussi que M' est l'image du point M par la projection P sur (D) parallèlement à (Δ), et on écrit P(M) = M'.

📌 Projection orthogonale

Si (D) et (Δ) sont orthogonales (perpendiculaires), alors la projection sur (D) s'appelle la projection orthogonale sur (D).

✅ Exercice 01 : Parallélogramme

ABCD est un parallélogramme de centre O. On considère P la projection sur (DC) parallèlement à (AD).

Déterminer P(A), P(B), P(C), P(D) et P(O).

✅ Corrigé

P(A) = D ; P(B) = C ; P(C) = C ; P(D) = D ; P(O) = O' où O' est le milieu du segment [DC].

✅ Exercice 02 : Triangle et projections orthogonales

ABC est un triangle.

D est le projeté orthogonal de B sur (AC).
E est le projeté orthogonal de C sur (AB).
F est le projeté orthogonal de D sur (AB).
H est le projeté orthogonal de E sur (AC).

1) Faire une figure.

2) Montrer que \(AE \times AD = AC \times AF\).

3) Montrer que \(AE \times AD = AH \times AB\).

4) En déduire que \((BC) \parallel (FH)\).

✅ Corrigé

2) Première égalité :

Dans le triangle AEC, on a (EC) ⟂ (AB) et (DF) ⟂ (AB), donc (EC) ∥ (DF).

\[ \frac{AE}{AF} = \frac{AC}{AD} \]

Donc \( AE \times AD = AC \times AF \).

3) Deuxième égalité :

Dans le triangle ABD, on a (BD) ⟂ (AC) et (EH) ⟂ (AC), donc (EH) ∥ (BD).

\[ \frac{AE}{AB} = \frac{AH}{AD} \]

Donc \( AE \times AD = AH \times AB \).

4) Parallélisme :

On a \( AC \times AF = AH \times AB \), donc :

\[ \frac{AF}{AB} = \frac{AH}{AC} \]

D'après la réciproque du théorème de Thalès, on en déduit que (BC) ∥ (FH).

📌 B) Théorème de Thalès avec la projection

📖 Théorème direct de Thalès avec la projection

Si \(A'\), \(B'\) et \(C'\) sont respectivement les projetés de \(A\), \(B\) et \(C\) sur \((D)\) parallèlement à \((\Delta)\), alors :

\[ \frac{AB}{AC} = \frac{A'B'}{A'C'} \]

📌 Version vectorielle - Conservation de l'alignement

Si \(A'\), \(B'\) et \(C'\) sont les projetés de \(A\), \(B\) et \(C\) et \(\overrightarrow{AB} = k \overrightarrow{AC}\) avec \(k \in \mathbb{R}\), alors :

\[ \overrightarrow{A'B'} = k \overrightarrow{A'C'} \]

La projection conserve l'alignement de trois points.

📖 Conservation du coefficient de colinéarité

Si \(A'\), \(B'\), \(E'\) et \(F'\) sont les projetés de \(A\), \(B\), \(E\) et \(F\) et \(\overrightarrow{AB} = k \overrightarrow{EF}\), alors :

\[ \overrightarrow{E'F'} = k \overrightarrow{A'B'} \]

La projection conserve le coefficient de colinéarité.

📌 Exemple : Conservation du milieu

Si \(I\) est le milieu de \([AB]\), alors \(P(I)\) est le milieu de \([A'B']\).

✅ Exercice 03 : Projection et vecteurs

\(ABC\) est un triangle. Le point \(E\) tel que \(\overrightarrow{AE} = \frac{2}{3}\overrightarrow{AB}\).

1) Construire le point \(E'\) le projeté de \(E\) sur \((AC)\) parallèlement à \((BC)\).

2) a) Montrer que \(\overrightarrow{AE'} = \frac{2}{3}\overrightarrow{AC}\).

b) En déduire que \((EE') \parallel (BC)\).

✅ Corrigé

2) a) Soit \(P\) la projection sur \((AC)\) parallèlement à \((BC)\).

On a \(\overrightarrow{AE} = \frac{2}{3}\overrightarrow{AB}\), \(P(A)=A\), \(P(E)=E'\) et \(P(B)=C\).

Donc \(\overrightarrow{AE'} = \frac{2}{3}\overrightarrow{AC}\).

b) \(\overrightarrow{EE'} = \overrightarrow{EA} + \overrightarrow{AE'} = -\frac{2}{3}\overrightarrow{AB} + \frac{2}{3}\overrightarrow{AC} = \frac{2}{3}\overrightarrow{BC}\).

Donc \((EE') \parallel (BC)\).

✅ Exercice 04 : Milieu et projections

\(ABC\) est un triangle. \(A'\) est le milieu de \([BC]\).

Soit \(D\) tel que \(\overrightarrow{AD} = \frac{3}{4}\overrightarrow{AA'}\).

1) Construire \(E\) le projeté de \(D\) sur \((BC)\) parallèlement à \((AB)\).

2) Construire \(F\) le projeté de \(D\) sur \((BC)\) parallèlement à \((AC)\).

3) Montrer que \(\overrightarrow{BE} = \frac{3}{4}\overrightarrow{BA'}\) et \(\overrightarrow{CF} = \frac{3}{4}\overrightarrow{CA'}\).

4) En déduire que \(A'\) est le milieu de \([EF]\).

✅ Corrigé

3) \(P_1\) projection sur \((BC)\) parallèlement à \((AB)\) : \(P_1(A)=B\), \(P_1(A')=A'\), \(P_1(D)=E\).

\[ \overrightarrow{BE} = \frac{3}{4}\overrightarrow{BA'} \]

\(P_2\) projection sur \((BC)\) parallèlement à \((AC)\) : \(P_2(A)=C\), \(P_2(A')=A'\), \(P_2(D)=F\).

\[ \overrightarrow{CF} = \frac{3}{4}\overrightarrow{CA'} \]

4) On a \(\overrightarrow{BE} = \overrightarrow{FC}\) et \(\overrightarrow{EA'} = \overrightarrow{A'F}\), donc \(A'\) est le milieu de \([EF]\).

📌 Théorème réciproque de Thalès avec la projection

📖 Théorème réciproque

Soient \((D)\) et \((\Delta)\) deux droites sécantes en \(A\).

Soient \(A'\) et \(B'\) les projetés de \(A\) et \(B\).

Si \(M\) est un point de \((AB)\) et \(M'\) un point de \((D)\) tels que :

\[ \overrightarrow{AM} = k \overrightarrow{AB} \quad \text{et} \quad \overrightarrow{A'M'} = k \overrightarrow{A'B'} \]

Alors \(P(M) = M'\).

✅ Exercice 05 : Centre de gravité

\(ABC\) est un triangle. Soient \(I\) et \(I'\) deux points tels que :

\[ \overrightarrow{AI} = \frac{2}{3}\overrightarrow{AC} \quad \text{et} \quad \overrightarrow{AI'} = \frac{2}{3}\overrightarrow{AB} \]

1) Montrer que \(I'\) est le projeté de \(I\) sur \((AB)\) parallèlement à \((BC)\).

2) Soit \(M\) le milieu de \([BC]\). La droite \((AM)\) coupe \((II')\) en \(G\).

a) Montrer que \(\overrightarrow{AG} = \frac{2}{3}\overrightarrow{AM}\).

b) En déduire que \(A\), \(G\) et \(M\) sont alignés.

✅ Corrigé

1) Soit \(P\) la projection sur \((AB)\) parallèlement à \((BC)\).

On a \(\overrightarrow{AI} = \frac{2}{3}\overrightarrow{AC}\), \(P(A)=A\), \(P(C)=B\), \(P(I)=I'\).

Donc d'après le théorème réciproque de Thalès, \(P(I)=I'\).

2) a) Soit \(P_1\) la projection sur \((AM)\) parallèlement à \((BC)\).

On a \(\overrightarrow{AI} = \frac{2}{3}\overrightarrow{AC}\), \(P_1(A)=A\), \(P_1(I)=G\), \(P_1(C)=M\).

\[ \overrightarrow{AG} = \frac{2}{3}\overrightarrow{AM} \]

b) Donc \(\overrightarrow{AG}\) et \(\overrightarrow{AM}\) sont colinéaires, donc \(A\), \(G\) et \(M\) sont alignés.