Tronc commun Sciences BIOF

📌 Exercice n°1

📖 Énoncé

On considère un hexagone régulier ABCDEF de centre O, et I et J les milieux respectifs des segments [AB] et [ED]. En utilisant les lettres de la figure, citer :

  1. Deux vecteurs égaux.
  2. Deux vecteurs de même direction, de sens contraire et de normes différentes.
  3. Deux vecteurs de même direction, de même sens et de normes différentes.
  4. Deux vecteurs de direction différentes et de même norme.
  5. Deux vecteurs opposés.
✅ Corrigé
  1. \( \overrightarrow{AB} = \overrightarrow{FO} = \overrightarrow{OC} = \overrightarrow{ED} \) ou encore \( \overrightarrow{FE} = \overrightarrow{AO} = \overrightarrow{OD} = \overrightarrow{BC} \)
  2. \( \overrightarrow{AB} \) et \( \overrightarrow{CF} \)
  3. \( \overrightarrow{AB} \) et \( \overrightarrow{FC} \)
  4. \( \overrightarrow{AB} \) et \( \overrightarrow{BC} \)
  5. \( \overrightarrow{AB} \) et \( \overrightarrow{DE} \)

📌 Exercice n°2

📖 Énoncé

Compléter les pointillés à l'aide de la relation de Chasles :

  • \( \overrightarrow{IJ} = \overrightarrow{IB} + \ldots \)
  • \( \overrightarrow{FE} = \overrightarrow{FG} + \ldots \)
  • \( \overrightarrow{XK} = \overrightarrow{XL} + \ldots \)
  • \( \overrightarrow{HJ} = \overrightarrow{HI} + \ldots \)
  • \( \overrightarrow{CD} = \overrightarrow{CA} + \ldots \)
  • \( \overrightarrow{RS} = \overrightarrow{RA} + \ldots \)
  • \( \overrightarrow{MN} = \overrightarrow{MP} + \ldots \)
  • \( \overrightarrow{JM} = \overrightarrow{JK} + \ldots \)
  • \( \overrightarrow{AB} + \overrightarrow{BC} + \overrightarrow{CD} + \overrightarrow{DE} = \ldots \)
  • \( \overrightarrow{AB} = \overrightarrow{AC} + \overrightarrow{CD} + \ldots \)
✅ Corrigé
  • \( \overrightarrow{IJ} = \overrightarrow{IB} + \overrightarrow{BJ} \)
  • \( \overrightarrow{FE} = \overrightarrow{FG} + \overrightarrow{GE} \)
  • \( \overrightarrow{XK} = \overrightarrow{XL} + \overrightarrow{LK} \)
  • \( \overrightarrow{HJ} = \overrightarrow{HI} + \overrightarrow{IJ} \)
  • \( \overrightarrow{CD} = \overrightarrow{CA} + \overrightarrow{AD} \)
  • \( \overrightarrow{RS} = \overrightarrow{RA} + \overrightarrow{AS} \)
  • \( \overrightarrow{MN} = \overrightarrow{MP} + \overrightarrow{PN} \)
  • \( \overrightarrow{JM} = \overrightarrow{JK} + \overrightarrow{KM} \)
  • \( \overrightarrow{AB} + \overrightarrow{BC} + \overrightarrow{CD} + \overrightarrow{DE} = \overrightarrow{AE} \)
  • \( \overrightarrow{AB} = \overrightarrow{AC} + \overrightarrow{CD} + \overrightarrow{DB} \)

📌 Exercice n°3

📖 Énoncé

En n'utilisant que les lettres représentées sur la figure, compléter :

  • \( \overrightarrow{AB} + \overrightarrow{FE} = \ldots \)
  • \( \overrightarrow{AB} + \overrightarrow{AH} = \ldots \)
  • \( \overrightarrow{BA} + \overrightarrow{BC} = \ldots \)
  • \( \overrightarrow{BC} + \overrightarrow{DE} = \ldots \)
  • \( \overrightarrow{BF} + \overrightarrow{GF} = \ldots \)
  • \( \overrightarrow{AE} + \overrightarrow{FB} = \ldots \)
✅ Corrigé
  • \( \overrightarrow{AB} + \overrightarrow{FE} = \overrightarrow{AB} + \overrightarrow{BC} = \overrightarrow{AC} \)
  • \( \overrightarrow{AB} + \overrightarrow{AH} = \overrightarrow{AB} + \overrightarrow{BE} = \overrightarrow{AE} \)
  • \( \overrightarrow{BA} + \overrightarrow{BC} = \overrightarrow{FG} + \overrightarrow{GH} = \overrightarrow{FH} \)
  • \( \overrightarrow{BC} + \overrightarrow{DE} = \overrightarrow{BC} + \overrightarrow{CB} = \vec{0} \)
  • \( \overrightarrow{BF} + \overrightarrow{GF} = \overrightarrow{BF} + \overrightarrow{AB} = \overrightarrow{AB} + \overrightarrow{BF} = \overrightarrow{AF} \)
  • \( \overrightarrow{AE} + \overrightarrow{FB} = \overrightarrow{AE} + \overrightarrow{EC} = \overrightarrow{AC} \)

📌 Exercice n°4

📖 Énoncé

ABC est le triangle ci-contre.

  1. Placer les points D et E tels que \( \overrightarrow{AD} = \overrightarrow{AC} - \overrightarrow{AB} \) et \( \overrightarrow{AE} = \overrightarrow{AB} - \overrightarrow{AC} \).
  2. Démontrer que A est le milieu de [ED].

Figure : Triangle ABC

✅ Corrigé

\( \overrightarrow{AD} = \overrightarrow{AC} - \overrightarrow{AB} = \overrightarrow{AC} + \overrightarrow{BA} = \overrightarrow{BC} \)

\( \overrightarrow{AE} = \overrightarrow{AB} - \overrightarrow{AC} = \overrightarrow{AB} + \overrightarrow{CA} = \overrightarrow{CB} \)

Puisque \( \overrightarrow{CB} = -\overrightarrow{BC} \), on a \( \overrightarrow{AE} = -\overrightarrow{AD} = \overrightarrow{DA} \), donc A est le milieu de [ED].

📌 Exercice n°5

📖 Énoncé

Dans chaque cas, déterminer à partir du graphique une relation du type \( \vec{u} = k\vec{v} \) où \( k \) est un réel.

✅ Corrigé
  • \( \vec{u} = \dfrac{5}{3}\vec{v} \)
  • \( \vec{u} = -\dfrac{2}{3}\vec{v} \)
  • \( \vec{u} = -\dfrac{6}{5}\vec{v} \)
  • \( \vec{u} = 2\vec{v} \)