Projection : serie 2

Tronc commun Sciences BIOF – Exercices corrigés

📌 Exercice 01 : Parallélogramme et projections

ABCD un parallélogramme de centre O

1) On considère \(P_1\) la projection sur (DC) parallèlement à (AD)

Déterminer \(P_1(A)\), \(P_1(B)\), \(P_1(C)\), \(P_1(D)\)
Construire \(P_1(O)\)

2) On considère \(P_2\) la projection sur (BC) parallèlement à (BD)

Déterminer \(P_2(O)\), \(P_2(B)\), \(P_2(C)\), \(P_2(D)\)

✅ Corrigé

1) Projection \(P_1\) sur (DC) parallèlement à (AD)

\(P_1(A) = D\)
\(P_1(B) = C\)
\(P_1(C) = C\)
\(P_1(D) = D\)
\(P_1(O)\) est le milieu du segment \([DC]\)

2) Projection \(P_2\) sur (BC) parallèlement à (BD)

\(P_2(O)\) est le milieu de \([BC]\)
\(P_2(B) = B\)
\(P_2(C) = C\)
\(P_2(D)\) est sur (BC)

📌 Exercice 02 : Triangle et projections orthogonales

ABC est un triangle.

D est le projeté orthogonal de B sur (AC)
E est le projeté orthogonal de C sur (AB)
F est le projeté orthogonal de D sur (AB)
H est le projeté orthogonal de E sur (AC)

1) Faire une figure

2) Montrer que \(AE \times AD = AC \times AF\)

3) Montrer que \(AE \times AD = AH \times AB\)

4) En déduire que \((BC) \parallel (FH)\)

✅ Corrigé

2) Dans le triangle AEC, on a (EC) ⟂ (AB) et (DF) ⟂ (AB), donc (EC) ∥ (DF).

\[ \frac{AE}{AF} = \frac{AC}{AD} \Rightarrow AE \times AD = AC \times AF \]

3) Dans le triangle ABD, on a (BD) ⟂ (AC) et (EH) ⟂ (AC), donc (EH) ∥ (BD).

\[ \frac{AE}{AB} = \frac{AH}{AD} \Rightarrow AE \times AD = AH \times AB \]

4) On a \(AC \times AF = AH \times AB\) donc \(\frac{AF}{AB} = \frac{AH}{AC}\).

D'après la réciproque du théorème de Thalès, \((BC) \parallel (FH)\).

📌 Exercice 03 : Projection et vecteurs

ABC est un triangle. Soit le point E tel que \(\overrightarrow{AE} = \frac{2}{3}\overrightarrow{AB}\).

1) Construire le point E' le projeté de E sur (AC) parallèlement à (BC)

2) Montrer que \(\overrightarrow{AE'} = \frac{2}{3}\overrightarrow{AC}\)

3) En déduire que \((EE') \parallel (BC)\)

✅ Corrigé

2) Soit \(P\) la projection sur (AC) parallèlement à (BC).

On a \(\overrightarrow{AE} = \frac{2}{3}\overrightarrow{AB}\), \(P(A)=A\), \(P(E)=E'\), \(P(B)=C\).

Donc \(\overrightarrow{AE'} = \frac{2}{3}\overrightarrow{AC}\).

3) \(\overrightarrow{EE'} = \overrightarrow{EA} + \overrightarrow{AE'} = -\frac{2}{3}\overrightarrow{AB} + \frac{2}{3}\overrightarrow{AC} = \frac{2}{3}\overrightarrow{BC}\).

Donc \((EE') \parallel (BC)\).

📌 Exercice 04 : Milieu et projections

ABC est un triangle. A' est le milieu de [BC]. Soit D tel que \(\overrightarrow{AD} = \frac{3}{4}\overrightarrow{AA'}\).

1) Construire E le projeté de D sur (BC) parallèlement à (AB)

2) Construire F le projeté de D sur (BC) parallèlement à (AC)

3) Montrer que \(\overrightarrow{BE} = \frac{3}{4}\overrightarrow{BA'}\) et \(\overrightarrow{CF} = \frac{3}{4}\overrightarrow{CA'}\)

4) En déduire que A' est le milieu de [EF]

✅ Corrigé

3) \(P_1\) projection sur (BC) parallèlement à (AB) : \(P_1(A)=B\), \(P_1(A')=A'\), \(P_1(D)=E\).

\[ \overrightarrow{BE} = \frac{3}{4}\overrightarrow{BA'} \]

\(P_2\) projection sur (BC) parallèlement à (AC) : \(P_2(A)=C\), \(P_2(A')=A'\), \(P_2(D)=F\).

\[ \overrightarrow{CF} = \frac{3}{4}\overrightarrow{CA'} \]

4) On a \(\overrightarrow{BE} = \overrightarrow{FC}\) et \(\overrightarrow{EA'} = \overrightarrow{A'F}\), donc A' est le milieu de [EF].

📌 Exercice 05 : Point à l'extérieur du triangle

ABC est un triangle et D un point de (BC) à l'extérieur de [BC].

Soit H tel que \(\overrightarrow{AH} = \frac{1}{3}\overrightarrow{AD}\).

N le projeté de D sur (AC) parallèlement à (HC)

M le projeté de D sur (AB) parallèlement à (HB)

1) Faire une figure

2) Montrer que \(\overrightarrow{AC} = \frac{1}{3}\overrightarrow{AN}\) et \(\overrightarrow{AB} = \frac{1}{3}\overrightarrow{AM}\)

3) En déduire que \((BC) \parallel (MN)\)

✅ Corrigé

2) Par projection sur (AC) parallèlement à (HC) :

\(\overrightarrow{AH} = \frac{1}{3}\overrightarrow{AD}\), \(P(A)=A\), \(P(H)=C\), \(P(D)=N\)

Donc \(\overrightarrow{AC} = \frac{1}{3}\overrightarrow{AN}\)

3) D'après le théorème réciproque de Thalès, \((BC) \parallel (MN)\).

📌 Exercice 06 : Centre de gravité

ABC est un triangle. Soient I et I' tels que:

\[ \overrightarrow{AI} = \frac{2}{3}\overrightarrow{AC} \quad \text{et} \quad \overrightarrow{AI'} = \frac{2}{3}\overrightarrow{AB} \]

1) Montrer que I' est le projeté de I sur (AB) parallèlement à (BC)

2) Soit M le milieu de [BC]. La droite (AM) coupe (II') en G

Montrer que \(\overrightarrow{AG} = \frac{2}{3}\overrightarrow{AM}\)
En déduire que A, G, M sont alignés

✅ Corrigé

1) Soit \(P\) la projection sur (AB) parallèlement à (BC).

\(\overrightarrow{AI} = \frac{2}{3}\overrightarrow{AC}\), \(P(A)=A\), \(P(C)=B\), \(P(I)=I'\)

Donc I' est le projeté de I.

2a) Soit \(P_1\) projection sur (AM) parallèlement à (BC).

\(\overrightarrow{AI} = \frac{2}{3}\overrightarrow{AC}\), \(P_1(A)=A\), \(P_1(I)=G\), \(P_1(C)=M\)

\[ \overrightarrow{AG} = \frac{2}{3}\overrightarrow{AM} \]

2b) \(\overrightarrow{AG}\) et \(\overrightarrow{AM}\) sont colinéaires, donc A, G, M sont alignés (G est le centre de gravité du triangle).