R05: Ordre et opérations dans ℝ

📖 Définitions

Soient \(a, b \in \mathbb{R}\).

\(a\) est inférieur ou égal à \(b\) équivaut à \((b - a) \in \mathbb{R}^+\). On note \(a \leq b\).
\(a\) est strictement inférieur à \(b\) équivaut à \((b - a) \in \mathbb{R}^{+*}\). On note \(a < b\).
\(a\) est supérieur ou égal à \(b\) équivaut à \((a - b) \in \mathbb{R}^+\). On note \(a \geq b\).
\(a\) est strictement supérieur à \(b\) équivaut à \((b - a) \in \mathbb{R}^{+*}\). On note \(a > b\).

📌 Exemples

On a : \(\frac{2}{7} > \frac{1}{7}\) et \(\sqrt{2} < 2\).

Comparer les deux nombres : \(a = 5 - \sqrt{3}\) et \(b = 2\sqrt{3}\).

\[ a - b = (5 - \sqrt{3}) - 2\sqrt{3} = 5 - 3\sqrt{3} \approx 5 - 5,196 = -0,196 < 0 \]

Donc \(a < b\).

📌 Propriétés fondamentales

Soient \(a, b, c, d \in \mathbb{R}\).

Transitivité : Si \(a \leq b\) et \(b \leq c\) alors \(a \leq c\).
Addition : Si \(a \leq b\) et \(c \in \mathbb{R}\) alors \(a + c \leq b + c\) et \(a - c \leq b - c\).
Addition de deux inégalités : Si \(a \leq b\) et \(c \leq d\) alors \(a + c \leq b + d\).

📌 Multiplication par un réel

Si \(c > 0\) et \(a \leq b\) alors \(a \times c \leq b \times c\) et \(\frac{a}{c} \leq \frac{b}{c}\).
Si \(c < 0\) et \(a \leq b\) alors \(a \times c \geq b \times c\) et \(\frac{a}{c} \geq \frac{b}{c}\).

📌 Inverse et ordre

Si \(a\) et \(b\) sont non nuls et de même signe, alors :

\[ a \leq b \iff \frac{1}{a} \geq \frac{1}{b} \]

📌 Puissance et racine carrée

Si \(a\) et \(b\) sont positifs :

✏️ Exercice

Comparer les nombres suivants :

1) \( \sqrt{5} - 2 \) et \( \sqrt{10} - 3 \)

2) \( \frac{2}{\sqrt{3}} \) et \( \sqrt{3} - 1 \)

📝 Résumé

\[ a \leq b \iff b - a \in \mathbb{R}^+ \]

\[ a + c \leq b + c \quad \text{et} \quad a - c \leq b - c \]

\[ c > 0 : a \leq b \Rightarrow ac \leq bc \]

\[ c < 0 : a \leq b \Rightarrow ac \geq bc \]

\[ a, b > 0 : a \leq b \iff a^2 \leq b^2 \iff \sqrt{a} \leq \sqrt{b} \]