Valeur absolue d'un nombre réel

Soit une droite graduée d'origine \(O\) et d'unité de mesure \(OI = 1\).

1. Construire les points \(A\), \(B\) et \(C\) d'abscisses \(3\), \(-2\) et \(2\).
2. Donner les distances \(OA\), \(OB\) et \(OC\).
   

• \(OA = 3\) est la valeur absolue de \(3\) : \(|3| = 3\)
• \(OB = 2\) est la valeur absolue de \(-2\) : \(|-2| = 2\)
• \(OC = 2\) est la valeur absolue de \(2\) : \(|2| = 2\)

Soit \(x \in \mathbb{R}\). Sur une droite graduée d'origine \(O\), soit \(M\) le point d'abscisse \(x\).

• Si \(x \geq 0\) : \(|x| = x\)
• Si \(x \leq 0\) : \(|x| = -x\)
• \(|0| = 0\), \(|-x| = |x|\), \(|x| \geq 0\)

• \(\sqrt{a^2} = |a|\) pour tout \(a \in \mathbb{R}\)
• \(|a \times b| = |a| \times |b|\)
• \(|a^n| = |a|^n\) pour \(n \in \mathbb{N}\)
• \(|a^{-n}| = |a|^{-n}\) pour \(a \neq 0\)
• \(|a + b| \leq |a| + |b|\) (inégalité triangulaire)
• \(\left|\frac{a}{b}\right| = \frac{|a|}{|b|}\) pour \(b \neq 0\)
• \(|a| = |b| \iff (a = b \text{ ou } a = -b)\)