✏️ Exemple
Simplifier l'expression suivante \(\sqrt{(2x - 3)^2}\) sachant que \(x \geq 2\).
\[ \sqrt{(2x - 3)^2} = |2x - 3| \]
Comme \(x \geq 2\), on a \(2x - 3 \geq 1 > 0\), donc :
\[ \sqrt{(2x - 3)^2} = 2x - 3 \]
Completion requirements
Cours - Tronc commun Sciences
📌 Simplification d'expression
📏 C. Distance et valeur absolue
📖 Définition
Soit une droite graduée d'origine \(O\). Notons \(A\) d'abscisse \(a\) et \(B\) d'abscisse \(b\).
\[ AB = |b - a| \]
Le nombre positif \(|b - a|\) est appelé la distance entre les points \(A\) et \(B\).
📖 Centre et rayon d'un intervalle
Soient \(a, b \in \mathbb{R}\) avec \(a < b\).
- Centre : \(x_0 = \frac{a + b}{2}\)
- Rayon : \(r = \frac{b - a}{2}\)
- \([a, b] = [x_0 - r, x_0 + r]\)
\[ |x - x_0| \leq r \iff x_0 - r \leq x \leq x_0 + r \]
📌 Exercice : Résolution d'inéquations avec valeur absolue
✏️ 1) Résoudre \(|x| \leq 2\) et \(|x| \geq 2\)
\[ |x| \leq 2 \iff -2 \leq x \leq 2 \iff x \in [-2, 2] \]
\[ |x| \geq 2 \iff x \leq -2 \text{ ou } x \geq 2 \iff x \in ]-\infty, -2] \cup [2, +\infty[ \]
✏️ 2) Résoudre \(|x - 3| \leq 2\)
\[ |x - 3| \leq 2 \iff -2 \leq x - 3 \leq 2 \]
\[ \iff 1 \leq x \leq 5 \iff x \in [1, 5] \]
📌 Propriétés de la valeur absolue
📖 Propriétés
Soit \(x \in \mathbb{R}\) et \(r\) un nombre réel positif.
| Inéquation | Solution |
|---|---|
| \(|x| \leq r\) | \(-r \leq x \leq r\) |
| \(|x| < r\) | \(-r < x < r\) |
| \(|x| \geq r\) | \(x \leq -r\) ou \(x \geq r\) |
| \(|x| > r\) | \(x < -r\) ou \(x > r\) |
| \(|x - x_0| \leq r\) | \(x_0 - r \leq x \leq x_0 + r\) |
📐 Approximation - Approximation décimale
📖 Définitions
Soit \(x \in \mathbb{R}\) et \(r > 0\).
- Valeur approchée à \(r\) près : \(|x - a| \leq r\)
- Valeur approchée par excès : \(a \leq x \leq a + r\)
- Valeur approchée par défaut : \(a - r \leq x \leq a\)
📌 Exemple
Donner une valeur approchée de \(\sqrt{2}\) à \(0,01\) près.
\[ 1,41 \leq \sqrt{2} \leq 1,42 \quad \text{amplitude} = 0,01 \]
\(1,41\) est une approximation par défaut, \(1,42\) une approximation par excès.