R05: Approximations et partie entière

✏️ Énoncé

1) Donner l'intervalle \(I\) de centre \(2\) et de rayon \(0,5\).

2) Soit \(x \in I\). Déterminer l'intervalle \(J\) tel que \(\frac{1}{x} \in J\).

3) Déterminer une approximation du nombre \(\frac{1}{x}\) à \(\frac{2}{25}\) près.

✅ Corrigé

1) \(I = [2 - 0,5 ; 2 + 0,5] = [1,5 ; 2,5]\)

2) Pour \(x \in [1,5 ; 2,5]\), on a \(\frac{1}{x} \in \left[\frac{1}{2,5} ; \frac{1}{1,5}\right] = [0,4 ; 0,666...]\)

\[ J = \left[\frac{2}{5}, \frac{2}{3}\right] \]

3) Une approximation à \(\frac{2}{25} = 0,08\) près :

\[ 0,4 \leq \frac{1}{x} \leq 0,666... \]

📖 Propriétés

Soit \(x\) vérifiant \(a \leq x \leq a + r = b\).

\(a\) est une valeur approchée par défaut de \(x\) à la précision \(r\).
\(b\) est une valeur approchée par excès de \(x\) à la précision \(r\).
\(\frac{a+b}{2}\) est une valeur approchée de \(x\) à la précision \(\frac{r}{2}\).

📌 Exemple avec \(\sqrt{2}\)

On a l'encadrement : \(1,4142 \leq \sqrt{2} \leq 1,4143\).

\[ \frac{b-a}{2} = \frac{1,4143 - 1,4142}{2} = \frac{0,0001}{2} = 0,00005 = 5 \times 10^{-5} \]

📌 Activité

Donner la partie entière des nombres suivants : \(3\) ; \(41,5\) ; \(-7\) ; \(-2,5\).

\[ E(3) = 3 \quad ; \quad E(41,5) = 41 \quad ; \quad E(-7) = -7 \quad ; \quad E(-2,5) = -3 \]

📖 Définition

Pour tout nombre réel \(x\), il existe un unique entier relatif \(p\) tel que :

\[ p \leq x < p + 1 \]

Le nombre \(p\) s'appelle la partie entière de \(x\), notée \(E(x) = p\).

📌 Exemple avec \(\sqrt{2}\)

On a l'encadrement : \(1,4142 \leq \sqrt{2} \leq 1,4143\).

\[ 1,4142 \times 10^4 \leq \sqrt{2} \times 10^4 \leq (1,4142 + 1) \times 10^4 \]

Le nombre \(1,4142\) est appelé approximation décimale par défaut de \(\sqrt{2}\) à la précision \(10^{-4}\).