Cours - Tronc commun Sciences BIOF

📌 Exercice

✏️ Énoncé

1) Donner l'intervalle \(I\) de centre \(2\) et de rayon \(0,5\).

2) Soit \(x \in I\). Déterminer l'intervalle \(J\) tel que \(\frac{1}{x} \in J\).

3) Déterminer une approximation du nombre \(\frac{1}{x}\) à \(\frac{2}{25}\) près.

✅ Corrigé

1) \(I = [2 - 0,5 ; 2 + 0,5] = [1,5 ; 2,5]\)

2) Pour \(x \in [1,5 ; 2,5]\), on a :

\[ \frac{1}{x} \in \left[\frac{1}{2,5} ; \frac{1}{1,5}\right] = \left[0,4 ; \frac{2}{3}\right] \]

3) Une approximation à \(\frac{2}{25} = 0,08\) près :

\[ 0,4 \leq \frac{1}{x} \leq 0,666... \]

📌 Cas particulier

📖 Propriétés

Soit \(x\) vérifiant \(a \leq x \leq a + r = b\).

  • \(a\) est une valeur approchée par défaut de \(x\) à la précision \(b - a\).
  • \(b\) est une valeur approchée par excès de \(x\) à la précision \(b - a\).
  • \(\frac{a + b}{2}\) est une valeur approchée de \(x\) à la précision \(\frac{b - a}{2}\).

📌 Exemple avec \(\sqrt{2}\)

📌 Encadrement de \(\sqrt{2}\)
\[ 1,4142 \leq \sqrt{2} \leq 1,4143 \]
  • \(1,4142\) est une valeur approchée par défaut de \(\sqrt{2}\) à la précision \(10^{-4}\).
    Car \(b - a = 1,4143 - 1,4142 = 0,0001 = 10^{-4}\).
  • \(1,4143\) est une valeur approchée par excès de \(\sqrt{2}\) à la précision \(10^{-4}\).
  • \(1,41425\) est une valeur approchée de \(\sqrt{2}\) à la précision \(5 \times 10^{-5}\).
    Car \(\frac{b - a}{2} = \frac{1,4143 - 1,4142}{2} = \frac{0,0001}{2} = 0,00005 = 5 \times 10^{-5}\).

🔢 B. Approximation décimale - Partie entière

📌 Activité

Donner la partie entière des nombres suivants : \(3\) ; \(41,5\) ; \(-7\) ; \(-2,5\).

\[ E(3) = 3 \quad ; \quad E(41,5) = 41 \quad ; \quad E(-7) = -7 \quad ; \quad E(-2,5) = -3 \]
📖 Définition

Pour tout nombre réel \(x\), il existe un unique entier relatif \(p\) tel que :

\[ p \leq x < p + 1 \]

Le nombre \(p\) s'appelle la partie entière de \(x\), notée \(E(x) = p\).

📌 Exemples
  • \(E(21) = 21\)
  • \(E(2,14) = 2\)
  • \(E(-3,7) = -4\)

📊 Approximation décimale

📌 Activité

On a l'encadrement : \(1,4142 \leq \sqrt{2} \leq 1,4143\).

\[ 1,4142 \times 10^4 \leq \sqrt{2} \times 10^4 \leq (1,4142 + 1) \times 10^4 \]

Le nombre \(1,4142\) est appelé approximation décimale par défaut de \(\sqrt{2}\) à la précision \(10^{-4}\).

📖 Définition

L'approximation décimale par défaut d'un nombre réel \(x\) à la précision \(10^{-n}\) est le nombre \(\frac{E(10^n x)}{10^n}\).

\[ \frac{E(10^n x)}{10^n} \leq x < \frac{E(10^n x) + 1}{10^n} \]

📝 Résumé

\[ \text{Partie entière : } E(x) = p \iff p \leq x < p + 1 \]
\[ \text{Approximation décimale par défaut : } \frac{E(10^n x)}{10^n} \]
\[ \text{Approximation décimale par excès : } \frac{E(10^n x) + 1}{10^n} \]