Soient \(x\) et \(y\) deux nombres réels.
1) \((3 - x)^2 - (9 - 6x) = 9 - 6x + x^2 - 9 + 6x = x^2 \geq 0\)
Donc \((3 - x)^2 \geq 9 - 6x\) pour tout \(x \in \mathbb{R}\).
2) \(x + \frac{1}{x} + 2 = \frac{x^2 + 1 + 2x}{x} = \frac{(x+1)^2}{x} \leq 0\) car \(x < 0\)
Donc \(x + \frac{1}{x} \leq -2\).
Soit \(n\) un entier naturel, comparer :
1) \(\frac{n-1}{n} - \frac{n}{n+1} = \frac{(n-1)(n+1) - n^2}{n(n+1)} = \frac{n^2 - 1 - n^2}{n(n+1)} = \frac{-1}{n(n+1)} < 0\)
Donc \(\frac{n-1}{n} < \frac{n}{n+1}\).
2) \(\frac{2021}{2022} < \frac{2022}{2023}\)
Soit \(x\) et \(y\) des nombres réels tels que :
\(|x - 4| \leq 1 \iff 3 \leq x \leq 5\)
\(|y + 3| \leq 2 \iff -5 \leq y \leq -1\)
Encadrements :
\(A = (x + y + 12) - (x + y - 9) = 21\) car \(x + y + 12 > 0\) et \(x + y - 9 < 0\).
\(B = (x - y + 9) + (x - y - 11) = 2(x - y) - 2\)
Soient \(a\) et \(b\) deux nombres réels distincts strictement positifs.
1) \(a^2 + b^2 - 2ab = (a - b)^2 \geq 0\), donc \(a^2 + b^2 \geq 2ab\).
2) \(a^2 + b^2 > 2ab \Rightarrow \frac{1}{ab} < \frac{a^2 + b^2}{2a^2b^2}\)
3) Pour \(a=3\), \(b=5\) : \(3,75 < \sqrt{15} < 4\).
Soit \(x\) et \(y\) des nombres réels tels que :
Pour \(x \in [-2;5]\), \(2x + 7 > 0\) donc \(|2x + 7| = 2x + 7\).
Pour \(y \in [-3;-1]\), \(3y < 0\) donc \(|3y| = -3y\).
\(y + 8 > 0\) donc \(|y + 8| = y + 8\).
\(2y - x < 0\) donc \(|2y - x| = -(2y - x) = -2y + x\).
\(A = 2(2x+7) - (-3y) + 2(y+8) - (-2y+x) = 4x + 14 + 3y + 2y + 16 + 2y - x = 3x + 7y + 30\)
Soit \(x\) un nombre réel tel que \(-1 < x < 0\).
\(1 - x - \frac{x^2}{2} = -\frac{1}{2}(x^2 + 2x) + 1 = -\frac{1}{2}(x+1)^2 + \frac{3}{2}\)
Pour \(-1 < x < 0\), on a \(1 - x > 0\) et \(\sqrt{1 - 2x} > 0\).
Par élévation au carré, on montre l'inégalité.