Tronc commun Sciences

📌 Exercice 1

📖 Énoncé

1) Exprimer les réels suivants sans radical ou sans valeur absolue.

\[ A = |4 - 2| + |3 - 7| - |2| - |5 - 11| - |5| - |2 - 1| \]
\[ B = |3\sqrt{2} - 2| - |2\sqrt{2} - 3| + |2\sqrt{2} - 2| \]
\[ C = |2\sqrt{3} - 1| + |3\sqrt{3} - 7| - |3\sqrt{3} - 2| \]
\[ D = \sqrt{(4\sqrt{7} - 2\sqrt{29})^2} \]

Pour \(x \in \mathbb{R}^-\) : \(E = \sqrt{(x - 2)^2}\)

Pour \(x \in \mathbb{R}^+\) : \(F = \sqrt{x + 1 + 2\sqrt{x}}\)

2) Soient \(x \in [-2;5]\) et \(y \in [-3;-1]\). Développer \(A = 3|2x + 7| - |2y - 2| + |y + 8| - |2y - x|\).

✅ Corrigé

1)

\(A = 2 + 4 - 2 - 6 - 5 - 1 = -8\)

\(B = (3\sqrt{2} - 2) - (3 - 2\sqrt{2}) + (2\sqrt{2} - 2) = 3\sqrt{2} - 2 - 3 + 2\sqrt{2} + 2\sqrt{2} - 2 = 7\sqrt{2} - 7\)

\(C = (2\sqrt{3} - 1) + (7 - 3\sqrt{3}) - (3\sqrt{3} - 2) = 2\sqrt{3} - 1 + 7 - 3\sqrt{3} - 3\sqrt{3} + 2 = -4\sqrt{3} + 8\)

\(D = |4\sqrt{7} - 2\sqrt{29}| = 2\sqrt{29} - 4\sqrt{7}\)

2) \(A = 3(2x+7) - (2 - 2y) + (y+8) - (x - 2y) = 6x + 21 - 2 + 2y + y + 8 - x + 2y = 5x + 5y + 27\)

📌 Exercice 2

📖 Énoncé

Déterminer l'intersection et la réunion des intervalles \(I\) et \(J\) :

  1. \(I = [-5, -1]\) et \(J = [-3, +\infty[\)
  2. \(I = [-1, +\infty[\) et \(J = [-3, +\infty[\)
  3. \(I = [-1, 11]\) et \(J = [-5, 17[\)
  4. \(I = [-1, +\infty[\) et \(J = [-2, +\infty[\)
✅ Corrigé
  • \(I \cap J = [-3, -1]\), \(I \cup J = [-5, +\infty[\)
  • \(I \cap J = [-1, +\infty[\), \(I \cup J = [-3, +\infty[\)
  • \(I \cap J = [-1, 11]\), \(I \cup J = [-5, 17[\)
  • \(I \cap J = [-1, +\infty[\), \(I \cup J = [-2, +\infty[\)

📌 Exercice 3

📖 Énoncé

Soient \(x\) et \(y\) deux nombres réels tels que :

1) \(-5 \leq x \leq -2\) et \(3 \leq y \leq 4\).

Donner un encadrement de : \(x+y\), \(x-y\), \(xy\), \(\frac{x}{y}\), \(x^2\), \(y^2\).

2) \(-6 \leq x \leq 3\) et \(5 \leq y \leq 8\).

Donner un encadrement de : \(x+y\), \(x-y\), \(xy\), \(\frac{x}{y}\), \(x^2\), \(y^2\).

✅ Corrigé

1)

  • \(x + y \in [-2, 2]\)
  • \(x - y \in [-9, -5]\)
  • \(xy \in [-20, -6]\)
  • \(\frac{x}{y} \in [-\frac{5}{3}, -\frac{1}{2}]\)
  • \(x^2 \in [4, 25]\)
  • \(y^2 \in [9, 16]\)

2)

  • \(x + y \in [-1, 11]\)
  • \(x - y \in [-14, -2]\)
  • \(xy \in [-48, 24]\)
  • \(\frac{x}{y} \in [-\frac{6}{5}, \frac{3}{5}]\)
  • \(x^2 \in [0, 36]\)
  • \(y^2 \in [25, 64]\)

📌 Exercice 4

📖 Énoncé

Soient \(a\) et \(b\) deux nombres réels tels que : \(|a - 2| < 1\) et \(-1 < b < 0\).

  1. Vérifier que \(1 < a < 3\).
  2. Donner un encadrement de \(a + b\) et \(a \times b\).
  3. Étudier le signe de la différence : \(a + b - \sqrt{a^2 + b^2}\).
✅ Corrigé

\(|a-2| < 1 \iff -1 < a-2 < 1 \iff 1 < a < 3\)

\(a + b \in (0, 3)\) et \(ab \in (-3, 0)\)

\(a + b - \sqrt{a^2 + b^2} < 0\) car \(\sqrt{a^2 + b^2} > |a| \geq a\)

📌 Exercice 5

📖 Énoncé

Soient \(a\) et \(b\) deux nombres réels tels que : \(|a + 2| < 1\) et \(-1 < b < 4\).

  1. Vérifier que \(-3 < a < -1\).
  2. Montrer que \(|a + b - 1| < 5\).
  3. On pose \(E = a^3 + 6a^2 + 12a + 9\). Donner un encadrement de \(E\).
✅ Corrigé

\(|a+2| < 1 \iff -3 < a < -1\)

\(a + b - 1 \in (-5, 5)\) donc \(|a + b - 1| < 5\)

\(E = (a+2)^3 + 1\), avec \(a+2 \in (-1, 1)\) donc \((a+2)^3 \in (-1, 1)\), d'où \(E \in (0, 2)\).

📌 Exercice 6

📖 Énoncé

Soit \(x\) un nombre réel tel que \(x \in [0, 3]\). On pose :

\[ A = \frac{2x + 3}{x + 1} \]

Donner un encadrement de \(A\) d'amplitude égale à \(\frac{3}{4}\).

✅ Corrigé

\(A = \frac{2x+3}{x+1} = 2 + \frac{1}{x+1}\)

Pour \(x \in [0,3]\), \(x+1 \in [1,4]\) donc \(\frac{1}{x+1} \in [\frac{1}{4}, 1]\)

D'où \(A \in [2 + \frac{1}{4}, 2 + 1] = [\frac{9}{4}, 3]\)

Amplitude : \(3 - \frac{9}{4} = \frac{3}{4}\)