Tronc commun Sciences BIOF
 
📌 Exercice 01

Calculer \(P(x) \times Q(x)\), \(\deg P\), \(\deg Q\) et \(\deg(P \times Q)\) :

\(P(x)\) \(Q(x)\)
\(2x^2 + 5\) \(5 - 2x^3\)
\(x^3 + 3x^2 - 6\) \(x^3 + 3x^2 - 6\)
Que peut-on remarquer sur les degrés ?
✅ Corrigé

\(\deg(P \times Q) = \deg P + \deg Q\)

Exemple 1 : \(\deg P=2\), \(\deg Q=3\), \(\deg(PQ)=5\)

📌 Exercice 02

Calculer \(P(x) + Q(x)\), \(\deg P\), \(\deg Q\) et \(\deg(P + Q)\) :

\(P(x)\) \(Q(x)\)
\(3x^4\) \(-4x^5 + 3x^2 - 7\)
\(-x^8 + 6x^3 + 2\) \(x^8 - 6x^3 + 1\)
Que peut-on remarquer sur les degrés ?
✅ Corrigé

\(\deg(P+Q) \leq \max(\deg P, \deg Q)\)

Si les termes de plus haut degré s'annulent, le degré peut diminuer.

📌 Exercice 03
1) Déterminer \(a, b, c\) pour que \(P = Q\) :
\(P(x) = ax^3 + bx^2 + cx - 6\) et \(Q(x) = (x-1)(x-2)(x-3)\)
2) \(P(x) = x^3 + x + 2\) et \(Q(x) = (x+1)(x^2 + ax + b)\)
✅ Corrigé

1) \((x-1)(x-2)(x-3) = x^3 - 6x^2 + 11x - 6\)
Donc \(a=1, b=-6, c=11\)

2) \((x+1)(x^2+ax+b) = x^3 + (a+1)x^2 + (a+b)x + b\)
Par identification : \(a+1=0 \Rightarrow a=-1\), \(b=2\), \(a+b=1 \Rightarrow 1=1\)

📌 Exercice 04
Déterminer \(a\) et \(b\) pour que \(P(x) = x^4 + ax^2 + b\) soit divisible par \((x-1)^2\).
✅ Corrigé

\(P(1)=0 \Rightarrow 1 + a + b = 0 \Rightarrow a + b = -1\)

\(P'(1)=0 \Rightarrow 4x^3 + 2ax = 0 \Rightarrow 4 + 2a = 0 \Rightarrow a = -2\)

Donc \(b = 1\)

📌 Exercice 05
Déterminer \(a, b\) pour que \(P(x) = x^4 - 6x^3 + ax^2 + bx + 1\) soit le carré d'un polynôme du second degré.
✅ Corrigé

Soit \((x^2 + px + q)^2 = x^4 + 2px^3 + (p^2+2q)x^2 + 2pqx + q^2\)

Par identification : \(2p = -6 \Rightarrow p = -3\), \(q^2 = 1 \Rightarrow q = \pm 1\)

Si \(q=1\) : \(a = p^2+2q = 9+2=11\), \(b = 2pq = -6\)

Si \(q=-1\) : \(a = 9-2=7\), \(b = 6\)

📌 Exercice 06
Soit \(P(x) = 4x^3 - 24x^2 + 45x - 27\). Calculer \(P(3)\) et factoriser.
✅ Corrigé

\(P(3) = 4(27) - 24(9) + 45(3) - 27 = 108 - 216 + 135 - 27 = 0\)

\(P(x) = (x-3)(4x^2 - 12x + 9) = (x-3)(2x-3)^2\)

📌 Exercice 07
Déterminer quotient et reste de \(P(x)\) par \(Q(x)\) :
1) \(P(x) = x^3 + 2x^2 - 4x + 3\), \(Q(x) = x + 1\)
2) \(P(x) = x^3 - 5x^2 + x + 12\), \(Q(x) = x - 4\)
3) \(P(x) = 2x^3 - 3x^2 + 1\), \(Q(x) = (x-1)^2\)
✅ Corrigé

1) Quotient : \(x^2 + x - 5\), Reste : \(8\)

2) Quotient : \(x^2 - x - 3\), Reste : \(0\)

3) Quotient : \(2x + 1\), Reste : \(3x - 2\)

📌 Exercice 08
Déterminer reste et quotient de \(P(x)\) par \(x - a\) :
1) \(P(x) = x^3 + 5x^2 - 3x - 22\), \(a = 2\)
2) \(P(x) = x^3 + 7x^2 - 4x - 10\), \(a = -1\)
✅ Corrigé

1) \(P(2) = 8 + 20 - 6 - 22 = 0\) → Quotient : \(x^2 + 7x + 11\), Reste : \(0\)

2) \(P(-1) = -1 + 7 + 4 - 10 = 0\) → Quotient : \(x^2 + 6x - 10\), Reste : \(0\)

📌 Exercice 09
Soit \(P(x) = ax^2 + bx\)
1) Calculer \(P(x+1)\)
2) Déterminer \(a\) et \(b\) pour que \(P(x+1) - P(x) = x\)
3) En déduire la somme \(1 + 2 + 3 + \dots + n\)
✅ Corrigé

1) \(P(x+1) = a(x+1)^2 + b(x+1) = ax^2 + 2ax + a + bx + b\)

2) \(P(x+1)-P(x) = 2ax + a + b = x\) ⇒ \(2a=1 \Rightarrow a=\frac{1}{2}\), \(a+b=0 \Rightarrow b=-\frac{1}{2}\)

3) \(P(n) = \frac{n^2+n}{2}\) ⇒ \(1+2+\dots+n = \frac{n(n+1)}{2}\)

Last modified: Friday, 12 June 2026, 4:18 PM