Cours - Tronc commun Sciences BIOF
 

4. Racines d'un polynôme

📌 Propriété

Tout polynôme \(P(x)\) vérifie :

\[ P(x) = (x - a)Q(x) + P(a) \]

où \(a\) est un nombre réel.

📖 Définition

Soit \(P(x)\) un polynôme. On dit que \(a\) est une racine (ou un zéro) de \(P(x)\) si et seulement si :

\[ P(a) = 0 \]
📌 Propriété

Les assertions suivantes sont équivalentes :

  1. \(P(a) = 0\)
  2. \(P(x)\) est divisible par \(x - a\)
  3. \(P(x) = (x - a)Q(x)\) où \(Q(x)\) est un polynôme tel que \(\deg(Q) = \deg(P) - 1\)
📌 Exemple

Soit \(P(x) = x^3 - 3x^2 + 4\). Vérifions si \(x = 2\) est une racine :

\[ P(2) = 8 - 12 + 4 = 0 \]

Donc \(2\) est une racine et \(P(x) = (x - 2)(x^2 - x - 2)\).

5. Division Euclidienne

📖 Règle pratique

À chaque étape on divise le monôme du plus haut degré du dividende par le monôme du plus haut degré du diviseur. C'est le terme du quotient.

On multiplie ce terme par le diviseur, ce qui donne un polynôme, et on retranche celui-ci du dividende. (Pour des raisons pratiques, on change de signe chaque terme du produit dans la 2e ligne afin de pouvoir additionner au lieu de soustraire.)

On arrête la division dès que le degré du reste devient inférieur strictement à celui du diviseur.

📌 Exemple de division


\[ x^3 - 2x^2 + 0x + 4 = (x - 2)(x^2 + 0x + 0) + 4 \]
Dividende Diviseur Quotient
\(x^3 - 2x^2 + 0x + 4\) \(x - 2\) \(x^2 + 0x + 0\)

📊 Schéma de Horner

📖 Principe

Soit \(P(x) = a_n x^n + a_{n-1} x^{n-1} + \cdots + a_1 x + a_0\).

On pose \(P(x) = (x - a)Q(x) + R\), où \(R\) est le reste (une constante).

Le schéma de Horner permet de calculer rapidement les coefficients du quotient \(Q(x)\) et le reste \(R\).


Coefficients de \(P(x)\) \(a_n\) \(a_{n-1}\) \(a_{n-2}\) \(\cdots\) \(a_1\) \(a_0\)
\(a\) \(b_{n-1} = a_n\) \(b_{n-2} = a_{n-1} + a \cdot b_{n-1}\) \(b_{n-3} = a_{n-2} + a \cdot b_{n-2}\) \(\cdots\) \(b_0 = a_1 + a \cdot b_1\) \(R = a_0 + a \cdot b_0\)
📌 Schéma de Horner

Les coefficients du quotient \(Q(x) = b_{n-1} x^{n-1} + b_{n-2} x^{n-2} + \cdots + b_0\) sont obtenus par :

\[ b_{n-1} = a_n \]
\[ b_{k-1} = a_k + a \times b_k \quad \text{pour } k = n-1, n-2, \ldots, 1 \]
\[ R = a_0 + a \times b_0 \]
📌 Exemple

Soit \(P(x) = 2x^3 - 3x^2 + 0x + 5\). Calculer \(P(2)\) par le schéma de Horner :


 
 
  2 -3 0 5
\(a = 2\) \(2\) \(-3 + 2 \times 2 = 1\) \(0 + 2 \times 1 = 2\) \(5 + 2 \times 2 = 9\)
\[ P(2) = 9 \quad \text{et} \quad Q(x) = 2x^2 + x + 2 \]

Donc \(P(x) = (x - 2)(2x^2 + x + 2) + 9\).

📌 Condition de racine

\(P(a) = 0\) si et seulement si le reste \(R = 0\).

\[ P(x) = (x - a)Q(x) \iff R = 0 \]

📝 Résumé

\[ P(a) = 0 \iff P(x) = (x - a)Q(x) \iff x - a \text{ divise } P(x) \]
\[ \text{Schéma de Horner : } b_{n-1} = a_n,\quad b_{k-1} = a_k + a \times b_k \]
\[ \text{Reste } R = a_0 + a \times b_0 \]
آخر تعديل: الجمعة، 12 يونيو 2026، 4:30 PM