P1: serie 1: Polynômes

On considère le polynôme \(P(x) = x^3 - 6x^2 + 5x + 12\).

1) Montrer que \(P(x)\) est divisible par \((x - 3)\).

2) Déterminer les réels \(a\) et \(b\) tels que \(P(x) = (x - 3)(x^2 + ax + b)\).

3) a. Montrer que \(P(x) = x(x - 3)^2 - 4(x - 3)\).

b. Calculer \(P(3 + \sqrt{2})\).

c. En déduire un encadrement de \(P(3 + \sqrt{2})\) sachant que \(1,4 < \sqrt{2} < 1,5\).

✅ Corrigé

1) \(P(3) = 27 - 54 + 15 + 12 = 0\) donc divisible par \((x-3)\).

2) Division : \(P(x) = (x-3)(x^2 - 3x - 4)\) ⇒ \(a = -3, b = -4\).

3) a) \(P(x) = x(x^2 - 6x + 9) - 4(x-3) = x(x-3)^2 - 4(x-3)\).

b) \(P(3+\sqrt{2}) = (3+\sqrt{2})(\sqrt{2})^2 - 4\sqrt{2} = (3+\sqrt{2}) \times 2 - 4\sqrt{2} = 6 + 2\sqrt{2} - 4\sqrt{2} = 6 - 2\sqrt{2}\).

c) \(1,4 < \sqrt{2} < 1,5\) ⇒ \(-3 < -2\sqrt{2} < -2,8\) ⇒ \(3 < 6-2\sqrt{2} < 3,2\).

On considère le polynôme \(P(x) = 2x^4 - 9x^3 + 14x^2 - 9x + 2\).

1) Montrer que \(0\) n'est pas une racine de \(P(x)\).

2) Montrer que si \(\alpha\) est une racine de \(P(x)\) alors \(\frac{1}{\alpha}\) est aussi une racine.

3) Montrer que \(2\) est une racine de \(P(x)\).

✅ Corrigé

1) \(P(0) = 2 \neq 0\) donc \(0\) n'est pas racine.

2) Polynôme réciproque. Si \(P(\alpha)=0\), alors en multipliant par \(\frac{1}{\alpha^4}\) on obtient \(P(1/\alpha)=0\).

3) \(P(2) = 32 - 72 + 56 - 18 + 2 = 0\) donc \(2\) est racine.

On considère le polynôme \(P(x) = x^4 + 6x^3 + 13x^2 + 12x + 4\).

1) Déterminer les réels \(a\) et \(b\) sachant que \(P(x) = (x^2 + 3x)^2 + a(x^2 + 3x) + b\).

2) Vérifier que \(x^2 + 3x + 2 = (x + 1)(x + 2)\).

3) En déduire une factorisation de \(P(x)\).

✅ Corrigé

1) \((x^2+3x)^2 = x^4 + 6x^3 + 9x^2\). Donc \(P(x) = (x^2+3x)^2 + 4(x^2+3x) + 4\) ⇒ \(a=4, b=4\).

2) \((x+1)(x+2) = x^2 + 3x + 2\).

3) \(P(x) = (x^2+3x+2)^2 = [(x+1)(x+2)]^2 = (x+1)^2(x+2)^2\).

On considère le polynôme \(P(x) = x^3 - 3x^2 - 13x + 15\).

1) Montrer que \(P(x)\) est divisible par \((x - 1)\) et \((x + 3)\).

2) Écrire \(P(x)\) sous forme de produit de binômes du premier degré.

3) a. Vérifier que \(P(x) + 16(x - 1) = (x - 1)^3\).

b. Montrer que si \(0,9 \leq x \leq 1,1\) alors \(|P(x) + 16(x - 1)| \leq 10^{-3}\).

c. Déduire une valeur approchée de \(P(0,98)\) à \(10^{-3}\) près.

✅ Corrigé

1) \(P(1) = 1 - 3 - 13 + 15 = 0\), \(P(-3) = -27 - 27 + 39 + 15 = 0\).

2) \(P(x) = (x-1)(x+3)(x-5)\).

3) a) \((x-1)^3 = x^3 - 3x^2 + 3x - 1\). Or \(P(x) = x^3 - 3x^2 - 13x + 15\) ⇒ \(P(x) + 16(x-1) = x^3 - 3x^2 + 3x - 1 = (x-1)^3\).

b) Pour \(0,9 \leq x \leq 1,1\), \(|x-1| \leq 0,1\) ⇒ \(|P(x)+16(x-1)| = |x-1|^3 \leq 0,001 = 10^{-3}\).

c) \(P(0,98) \approx -16(0,98-1) = -16 \times (-0,02) = 0,32\) à \(10^{-3}\) près.