Série 3 - Tronc commun Sciences BIOF
 
📌 Exercice 06

Soit \(P(x) = 4x^3 - 24x^2 + 45x - 27\).

1) Calculer \(P(3)\).
2) Factoriser \(P(x)\).
✅ Corrigé

1) \(P(3) = 4 \times 27 - 24 \times 9 + 45 \times 3 - 27 = 108 - 216 + 135 - 27 = 0\)

2) Division euclidienne par \(x - 3\) :

\[ \begin{array}{r|rrrr} & 4 & -24 & 45 & -27 \\ 3 & & 12 & -36 & 27 \\ \hline & 4 & -12 & 9 & 0 \end{array} \]

\(P(x) = (x-3)(4x^2 - 12x + 9) = (x-3)(2x-3)^2\)

📌 Exercice 09

Soit \(P(x) = ax^2 + bx\).

1) Calculer \(P(x+1)\).
2) Déterminer \(a\) et \(b\) pour que \(P(x+1) - P(x) = x\).
3) En déduire la somme \(1 + 2 + 3 + \cdots + n\).
✅ Corrigé

1) \(P(x+1) = a(x+1)^2 + b(x+1) = ax^2 + (2a+b)x + a + b\)

2) \(P(x+1) - P(x) = 2ax + a + b = x\) ⇒ \(\begin{cases} 2a = 1 \\ a + b = 0 \end{cases}\) ⇒ \(a = \frac{1}{2},\ b = -\frac{1}{2}\)

Donc \(P(x) = \frac{1}{2}x^2 - \frac{1}{2}x = \frac{1}{2}x(x-1)\)

3) \(P(k+1)-P(k) = k\) pour \(k=1,2,\ldots,n\)

En sommant : \(P(n+1)-P(1) = 1+2+\cdots+n\)

\[ 1+2+\cdots+n = \frac{(n+1)n}{2} - 0 = \frac{n(n+1)}{2} \]
📌 Exercice 10

Soit \(P(x) = (x-a)(x-b)(x-c)\).

1) Développer \(P(x)\).
2) Soit \(P(x) = x^3 - 6x^2 + 11x - 6\). Déterminer \(a, b, c\).
✅ Corrigé

1) \(P(x) = x^3 - (a+b+c)x^2 + (ab+ac+bc)x - abc\)

2) Par identification :

\[ \begin{cases} a+b+c = 6 \\ ab+ac+bc = 11 \\ abc = 6 \end{cases} \]

Les diviseurs de 6 sont 1, 2, 3, 6. On vérifie : \(1+2+3=6\), \(1\times2 + 1\times3 + 2\times3 = 2+3+6=11\), \(1\times2\times3=6\)

Donc \(a=1,\ b=2,\ c=3\).

📌 Exercice 11

On considère le polynôme \(P(x) = x^3 - 6x^2 + 5x + 12\).

1) Montrer que \(P(x)\) est divisible par \((x-3)\).
2) Déterminer \(a, b\) tels que \(P(x) = (x-3)(x^2 + ax + b)\).
3) a. Montrer que \(P(x) = x(x-3)^2 - 4(x-3)\).
b. Calculer \(P(3+\sqrt{2})\).
✅ Corrigé

1) \(P(3) = 27 - 54 + 15 + 12 = 0\) donc \(P(x)\) divisible par \((x-3)\).

2) Par identification :

\[ \begin{cases} a - 3 = -6 \Rightarrow a = -3 \\ b - 3a = 5 \Rightarrow b - 3(-3) = 5 \Rightarrow b + 9 = 5 \Rightarrow b = -4 \\ -3b = 12 \Rightarrow b = -4 \end{cases} \]

Donc \(P(x) = (x-3)(x^2 - 3x - 4)\)

3) a. \(P(x) = (x-3)(x^2-3x-4) = (x-3)[(x^2-3x) - 4] = (x-3)[x(x-3)-4] = x(x-3)^2 - 4(x-3)\)

b. \(P(3+\sqrt{2}) = (3+\sqrt{2})(\sqrt{2})^2 - 4\sqrt{2} = (3+\sqrt{2})\times 2 - 4\sqrt{2} = 6 + 2\sqrt{2} - 4\sqrt{2} = 6 - 2\sqrt{2}\)