- Tronc commun Sciences BIOF

📌 Exercice 1

Déterminer suivant les valeurs de \(m\), le degré du polynôme \(P(x)\) dans chacun des cas suivants :

1) \(P(x) = 2x^5 - 3(m + 2)x^3 - 3\)
2) \(P(x) = (m^2 + 1)x^2 + mx + m\)
3) \(P(x) = (1 - m^2)x^3 + 2(m + 1)x^2 + 3x - m\)
4) \(P(x) = (m - 1)x^3 + (m + 1)x^2 - 5x\)
5) \(P(x) = (m^2 - m)x^3 + mx^2 + (m + 1)x - 3m - 2\)

📌 Exercice 2

1) Dans chacun des cas suivants, montrer que \(\alpha\) est une racine de \(P(x)\) puis factoriser \(P(x)\) en produit de facteurs du premier degré, si possible :
a) \(P(x) = x^3 - 21x + 31\), \(\alpha = 3\)
b) \(P(x) = 2x^3 + 3x^2 - 1\), \(\alpha = -1\)
c) \(P(x) = 2x^3 + x^2 - 13x + 6\), \(\alpha = 2\)
2) Soit \(A(x)\) et \(B(x)\) deux polynômes donnés. En utilisant la division euclidienne, déterminer \(Q(x)\) et \(R(x)\) tels que \(A(x) = B(x)Q(x) + R(x)\), \(\deg(R) < \deg(B)\) :
a) \(A(x) = 2x^3 - 3x^2 + 1\), \(B(x) = x^2 - 3x + 1\)
b) \(A(x) = x^5 - 3x^4 + 5x^3 - x + 9\), \(B(x) = x^3 - x + 9\)
c) \(A(x) = 2x^4 + x^3 - 10x^2 + 6x - 5\), \(B(x) = x^2 - x - 5\)
3) En utilisant la méthode de Horner, calculer \(P(2)\) et \(P(3)\) avec \(P(x) = x^6 - 4x^4 - x^2 + 4\).

📌 Exercice 3

Soit le polynôme \(P\) défini par \(P(x) = x^3 - 5x^2 - 2x + 3\) admettant trois racines distinctes \(a, b, c\) non nulles.

1) Déterminer, sans calculer ses racines, les valeurs de :
a) \(a + b + c\), \(ab + ac + bc\), \(abc\)
b) \(a^2 + b^2 + c^2\)
c) \(a^3 + b^3 + c^3\)
d) \(\frac{1}{a} + \frac{1}{b} + \frac{1}{c}\)
2) Calculer \(a^5 + b^5 + c^5\) (on effectuera la division euclidienne de \(x^5\) par \(P(x)\)).

📌 Exercice 4

1) Calculer la somme des coefficients du polynôme \(P(x) = (1 - x + x^2)^2 (1 + 3x - x^2)^3\).
2) On donne \(P(x) = x^{17} - 12x^{16} + 12x^{15} - 12x^{14} + 12x^{13} - \cdots - 12x^2 + 12x - 1\). Calculer simplement \(P(11)\).

📌 Exercice 5

Dans chacun des cas suivants, déterminer les réels \(a\) et \(b\) pour que \(f\) soit factorisable par \(g\) :
1) \(f(x) = ax^3 - 4x^2 + 5x - 6\) et \(g(x) = x - 2\)
2) \(f(x) = x^3 - 5x^2 + ax + b\) et \(g(x) = (x - 1)^2\)
3) \(f(x) = x^4 + x^3 + ax^2 + bx + 6\) et \(g(x) = x^2 - 3x + 2\)

📌 Exercice 6

Soit \(m \in \mathbb{R}\) et \(P\) le polynôme défini par : \(P(x) = x^3 - (3 + 2m)x^2 + (6m + 2)x - 4m\).

1) Vérifier que \(P(2m) = 0\).
2) Écrire \(P(x)\) sous forme d'un produit de trois facteurs du premier degré.
3) Résoudre suivant les valeurs de \(m\) l'inéquation \(P(x) > 0\).

📌 Exercice 7

Soit \(P(x) = 2x^4 - x^3 - 10x^2 + 3\).

1) Déterminer le polynôme \(Q(x)\) et le polynôme \(R(x)\) du premier degré tels que :
a) \(P(x) = (x^2 - 2x - 1)Q(x) + R(x)\)
b) \(P(x) = (x^2 - 2x - 1)Q'(x) + R'(x)\)
2) En déduire le reste de la division euclidienne de \(P(x)\) par \((x - 1 - \sqrt{2})\).
3) Déterminer \(P(1 - \sqrt{2})\).