Tronc commun Sciences BIOF

📌 Exercice 1: 

Soient \(P(x)\) et \(Q(x)\) deux polynômes. Calculer \(P(x)+Q(x)\) et \(P(x)\times Q(x)\) dans chacun des cas suivants et comparer \(\deg(P\times Q)\) et \(\deg(P)+\deg(Q)\).

1) \(P(x)=2x^3+5x-3\) ; \(Q(x)=-3x^2+x-2\)
2) \(P(x)=x^5-2x^2+3\) ; \(Q(x)=-x^5+1\)

📌 Exercice 2 :

Discuter suivant le paramètre \(m\) le degré du polynôme \(P(x)\) :

\[ P(x) = (m^2-4)x^3 + (2m-4)x^2 + 5x - 1 \]

📌 Exercice 3 :

1) Montrer que les polynômes suivants sont égaux :
\[ P(x) = 2x^3 + 3x^2 - 29x + 30 \quad \text{et} \quad Q(x) = (x+5)(2x^2 - 7x + 5) \]
2) Déterminer les nombres réels \(a\), \(b\) et \(c\) pour que les polynômes suivants soient égaux :
\[ P(x) = ax^2 + bx + c \quad \text{et} \quad Q(x) = (3x-1)(x+2) \]

📌 Exercice 4:

Soit le polynôme : \(P(x) = x^4 + 6x^3 + 15x^2 + 18x + 9\).

1) Calculer \(a\) et \(b\) sachant que :
\[ P(x) = (x^2 + 3x)^2 + a(x^2 + 3x) + b \]
2) Factoriser \(P(x)\).

📌 Exercice 5:

1) Déterminer un polynôme \(P\) de degré 3 tel que : \(P(x+1)-P(x)=x\).
2) En déduire la somme suivante : \(S_1 = 1+2+3+\ldots+n\).
3) Déterminer un polynôme \(P\) de degré 3 tel que : \(P(x+1)-P(x)=x^2\).
4) En déduire la somme suivante : \(S_2 = 1^2+2^2+3^2+\ldots+n^2\).

📌 Exercice 6 :

Trouver le diviseur du polynôme \(P(x)=5x^3+x^2+2\) sachant que le quotient et le reste sont respectivement :

\[ Q(x)=5x^2-19x+76 \quad \text{et} \quad R(x)=-299 \]

📌 Exercice 7 :

Soit le polynôme : \(P(x)=x^3+3x^2-2x-6\).

1) Calculer \(P(-3)\) et que peut-on dire ?
2) Déterminer le polynôme \(Q(x)\) tel que \(P(x)=(x+3)\times Q(x)\).

📌 Exercice 8:

Soit le polynôme : \(P(x)=x^3-2x^2-5x+6\).

1) Effectuer la division euclidienne de \(P(x)\) par \(x+2\) et déterminer le quotient \(Q(x)\) et le reste.
2) Montrer que \(Q(x)\) est divisible par \(x-3\).
3) En déduire une factorisation du polynôme \(P(x)\) en polynômes du premier degré.