متطلبات الإكمال
Chapitre 3 : Géométrie analytique
Tronc commun Sciences BIOF
II) ÉQUATION D'UNE DROITE
II) ÉQUATION D'UNE DROITE
1) Vecteur directeur d'une droite
📌 Définition : On appelle vecteur directeur d'une droite \((D)\) tout vecteur \(\vec{u} \neq \vec{0}\) qui possède la même direction que la droite \((D)\).
✨ Propriété : Si une droite \((D)\) passe par les points \(A(x_A; y_A)\) et \(B(x_B; y_B)\), alors le vecteur \(\overrightarrow{AB}\) est un vecteur directeur de \((D)\).
2) Équation cartésienne d'une droite
Théorème (équation cartésienne) : Toute droite \((D)\) du plan peut être représentée par une équation de la forme :
Le vecteur \(\vec{u}(-b; a)\) est un vecteur directeur de \((D)\).
\[ ax + by + c = 0 \]
où \(a, b, c\) sont des réels, avec \((a; b) \neq (0; 0)\). Le vecteur \(\vec{u}(-b; a)\) est un vecteur directeur de \((D)\).
🔹 Exemple : Soit la droite \((D) : 2x - 3y + 5 = 0\).
Un vecteur directeur de \((D)\) est \(\vec{u}(3; 2)\).
Un vecteur directeur de \((D)\) est \(\vec{u}(3; 2)\).
3) Équation réduite d'une droite
✏️ Propriété : Une droite non parallèle à l'axe des ordonnées admet une équation de la forme :
\[ y = m x + p \]
où \(m\) est le coefficient directeur (pente) et \(p\) l'ordonnée à l'origine.📌 Cas particuliers :
▪ Droite parallèle à l'axe des abscisses : \(y = p\)
▪ Droite parallèle à l'axe des ordonnées : \(x = k\)
▪ Droite parallèle à l'axe des abscisses : \(y = p\)
▪ Droite parallèle à l'axe des ordonnées : \(x = k\)
4) Coefficient directeur (pente)
📈 Formule : Soit \((D)\) une droite passant par \(A(x_A; y_A)\) et \(B(x_B; y_B)\) avec \(x_A \neq x_B\).
Le coefficient directeur \(m\) de \((D)\) est :
Le coefficient directeur \(m\) de \((D)\) est :
\[ m = \frac{y_B - y_A}{x_B - x_A} \]
🔹 Exemple : Pour \(A(2; 1)\) et \(B(5; 3)\) :
\[ m = \frac{3 - 1}{5 - 2} = \frac{2}{3} \]
\[ m = \frac{3 - 1}{5 - 2} = \frac{2}{3} \]
III) PARALLÉLISME ET PERPENDICULARITÉ
1) Condition de parallélisme
⚡ Propriété : Deux droites \((D)\) et \((D')\) d'équations \(ax + by + c = 0\) et \(a'x + b'y + c' = 0\) sont parallèles si et seulement si :
\[ ab' - a'b = 0 \]
Cas des équations réduites : \((D): y = mx + p\) et \((D'): y = m'x + p'\) sont parallèles \(\iff m = m'\).2) Condition de perpendicularité
✖️ Propriété : Deux droites \((D)\) et \((D')\) d'équations \(ax + by + c = 0\) et \(a'x + b'y + c' = 0\) sont perpendiculaires si et seulement si :
\[ aa' + bb' = 0 \]
Cas des équations réduites : \((D): y = mx + p\) et \((D'): y = m'x + p'\) sont perpendiculaires \(\iff m \times m' = -1\).IV) DISTANCE D'UN POINT À UNE DROITE
🎯 Théorème fondamental : Soit \((D)\) une droite d'équation \(ax + by + c = 0\) et \(M(x_0; y_0)\) un point du plan.
La distance du point \(M\) à la droite \((D)\) est :
La distance du point \(M\) à la droite \((D)\) est :
\[ d(M, D) = \frac{|ax_0 + by_0 + c|}{\sqrt{a^2 + b^2}} \]
📝 Exemple : Pour \(M(1; 2)\) et \((D): 3x - 4y + 1 = 0\) :
\[ d(M, D) = \frac{|3 \times 1 - 4 \times 2 + 1|}{\sqrt{3^2 + (-4)^2}} = \frac{|3 - 8 + 1|}{\sqrt{9 + 16}} = \frac{|-4|}{5} = 0,8 \]
\[ d(M, D) = \frac{|3 \times 1 - 4 \times 2 + 1|}{\sqrt{3^2 + (-4)^2}} = \frac{|3 - 8 + 1|}{\sqrt{9 + 16}} = \frac{|-4|}{5} = 0,8 \]
📌 Exercice 1 : (Équations, parallélisme et distance)
On considère les points et droites suivants.
1) Déterminer l'équation cartésienne de la droite \((D)\) passant par \(A(2; -1)\) et de vecteur directeur \(\vec{u}(3; 4)\).
2) Soient les droites : \[ (D_1): 2x - 3y + 4 = 0 \quad \text{et} \quad (D_2): 4x - 6y + 7 = 0 \] Ces deux droites sont-elles parallèles ?
3) Calculer la distance du point \(A(3; 2)\) à la droite \((D): x - 2y + 5 = 0\).
✅ Corrigé détaillé
1) Un vecteur directeur \(\vec{u}(3;4)\) donne directement les coefficients : pour \(\vec{u}(-b;a)\) on a \(-b = 3 \Rightarrow b = -3\) et \(a = 4\). L'équation cartésienne est donc de la forme \(4x - 3y + c = 0\).
On utilise le point \(A(2;-1)\) : \(4(2) - 3(-1) + c = 0 \Rightarrow 8 + 3 + c = 0 \Rightarrow 11 + c = 0 \Rightarrow c = -11\).
Ainsi \((D): 4x - 3y - 11 = 0\).
2) Pour \((D_1): a=2, b=-3\) ; pour \((D_2): a'=4, b'=-6\).
Condition de parallélisme : \(ab' - a'b = 2 \times (-6) - 4 \times (-3) = -12 + 12 = 0\).
Donc \((D_1)\) et \((D_2)\) sont parallèles (strictement parallèles car les coefficients ne sont pas proportionnels au sens de l'égalité stricte des équations).
3) Distance de \(A(3;2)\) à la droite \(x - 2y + 5 = 0\) :
\[ d = \frac{|3 - 2\times 2 + 5|}{\sqrt{1^2 + (-2)^2}} = \frac{|3 - 4 + 5|}{\sqrt{1+4}} = \frac{|4|}{\sqrt{5}} = \frac{4}{\sqrt{5}} = \frac{4\sqrt{5}}{5} \]
4) trace les droites \[ (D_1): 2x - 3y + 4 = 0 \quad \text{et} \quad (D_2): 4x - 6y + 7 = 0 \]
🎯 La distance vaut donc \(\displaystyle \frac{4\sqrt{5}}{5}\) unités.