DP01: Vecteurs - Distance - Colinéarité

3) Distance dans un repère orthonormé

📌 Activité : Soit \(A\) et \(B\) deux points de coordonnées \((x_A, y_A)\) et \((x_B, y_B)\) dans un repère orthonormé \((O, \vec{i}, \vec{j})\).
Montrer que : \[ AB = \sqrt{(x_B - x_A)^2 + (y_B - y_A)^2} \]

✨ Propriété fondamentale : Soient deux points \(A \begin{pmatrix} x_A \\ y_A \end{pmatrix}\) et \(B \begin{pmatrix} x_B \\ y_B \end{pmatrix}\) ainsi qu'un vecteur \(\vec{u} \begin{pmatrix} x \\ y \end{pmatrix}\) dans un repère orthonormé :

La norme (ou module) du vecteur \(\vec{u} \begin{pmatrix} x \\ y \end{pmatrix}\) est : \[ \|\vec{u}\| = \sqrt{x^2 + y^2} \]
La distance AB (norme du vecteur \(\overrightarrow{AB}\)) est : \[ AB = \sqrt{(x_B - x_A)^2 + (y_B - y_A)^2} \]

💡 Remarque : Cette propriété est une conséquence directe du théorème de Pythagore dans un triangle rectangle.

🔹 Exemple illustratif : Soit \(A(3;2)\) et \(B(2;-2)\).
\(AB = \sqrt{(2-3)^2 + (-2-2)^2} = \sqrt{(-1)^2 + (-4)^2} = \sqrt{1+16} = \sqrt{17}\).

4) Colinéarité de deux vecteurs

a) Déterminant de deux vecteurs

📌 Définition : Soit deux vecteurs \(\vec{u} \begin{pmatrix} x \\ y \end{pmatrix}\) et \(\vec{v} \begin{pmatrix} x' \\ y' \end{pmatrix}\).
Le nombre \(xy' - yx'\) est appelé déterminant des vecteurs \(\vec{u}\) et \(\vec{v}\). On note : \[ \det(\vec{u}; \vec{v}) = \begin{vmatrix} x & x' \\ y & y' \end{vmatrix} = xy' - yx' \]

b) Critère de colinéarité

📌 Activité : Soient \(\vec{u}\) et \(\vec{v}\) deux vecteurs du plan.
a) Montrer que si \(\vec{u}\) et \(\vec{v}\) sont colinéaires alors \(\det(\vec{u}; \vec{v}) = 0\).
b) Montrer que si \(\det(\vec{u}; \vec{v}) = 0\) alors \(\vec{u}\) et \(\vec{v}\) sont colinéaires.

✅ Propriété fondamentale (Critère de colinéarité) : \[ \boxed{\vec{u} \text{ et } \vec{v} \text{ sont colinéaires } \Longleftrightarrow \det(\vec{u}; \vec{v}) = 0} \] Autrement dit : deux vecteurs sont colinéaires si et seulement si leur déterminant est nul.

🔹 Exemple : \(\vec{u}\begin{pmatrix} -6 \\ 10 \end{pmatrix}\) et \(\vec{v}\begin{pmatrix} 9 \\ -15 \end{pmatrix}\)
\(\det = (-6)\times(-15) - 10\times 9 = 90 - 90 = 0\) ⇒ les vecteurs sont colinéaires.

📌 Exercice 02 : Calcul de distance

Soit deux points \(A \begin{pmatrix} 3 \\ 2 \end{pmatrix}\) et \(B \begin{pmatrix} 2 \\ -2 \end{pmatrix}\) dans un repère orthonormé.

Calculer la distance \(AB\).

✅ Corrigé

La distance \(AB\) (norme du vecteur \(\overrightarrow{AB}\)) est donnée par :

\[ AB = \sqrt{(x_B - x_A)^2 + (y_B - y_A)^2} \]

\[ AB = \sqrt{(2 - 3)^2 + (-2 - 2)^2} \]

\[ AB = \sqrt{(-1)^2 + (-4)^2} \]

\[ AB = \sqrt{1 + 16} = \sqrt{17} \]

📌 La distance entre \(A\) et \(B\) est donc \(\boxed{\sqrt{17}}\) unités.

📌 Exercice 03 : Colinéarité de vecteurs

Dans chaque cas, vérifier si les vecteurs \(\vec{u}\) et \(\vec{v}\) sont colinéaires.

a) \(\vec{u} \begin{pmatrix} -6 \\ 10 \end{pmatrix}\) et \(\vec{v} \begin{pmatrix} 9 \\ -15 \end{pmatrix}\)

b) \(\vec{u} \begin{pmatrix} 4 \\ 9 \end{pmatrix}\) et \(\vec{v} \begin{pmatrix} 11 \\ 23 \end{pmatrix}\)

✅ Corrigé

a) Calcul du déterminant :

\[ \det(\vec{u}; \vec{v}) = \begin{vmatrix} -6 & 9 \\ 10 & -15 \end{vmatrix} = (-6) \times (-15) - 10 \times 9 = 90 - 90 = 0 \]

Puisque \(\det(\vec{u}; \vec{v}) = 0\), les vecteurs \(\vec{u}\) et \(\vec{v}\) sont colinéaires.

b) Calcul du déterminant :

\[ \det(\vec{u}; \vec{v}) = \begin{vmatrix} 4 & 11 \\ 9 & 23 \end{vmatrix} = 4 \times 23 - 9 \times 11 = 92 - 99 = -7 \neq 0 \]

Puisque \(\det(\vec{u}; \vec{v}) \neq 0\), les vecteurs \(\vec{u}\) et \(\vec{v}\) ne sont pas colinéaires.

🎯 Conclusion : Le déterminant est un outil puissant pour tester la colinéarité.

📌 Exercice 04 : Coordonnées et barycentre (synthèse)

On considère les points \(A(3;2)\), \(B(5;3)\) et \(C(-1;-2)\) dans un repère orthonormé.

1) Calculer les coordonnées du milieu \(M\) du segment \([AB]\).

2) Déterminer les coordonnées du point \(G\) tel que \(\overrightarrow{GA} + \overrightarrow{GB} + \overrightarrow{GC} = \vec{0}\). (Centre de gravité du triangle ABC)

3) Les vecteurs \(\overrightarrow{AB}\) et \(\overrightarrow{AC}\) sont-ils colinéaires ? Que peut-on en déduire ?

✅ Corrigé

1) Milieu M de [AB] :

\[ M \left( \frac{x_A + x_B}{2} ; \frac{y_A + y_B}{2} \right) = M \left( \frac{3+5}{2} ; \frac{2+3}{2} \right) = M \left( 4 ; 2,5 \right) \]

2) Centre de gravité G : \(\overrightarrow{GA} + \overrightarrow{GB} + \overrightarrow{GC} = \vec{0}\).

On utilise la propriété : \(x_G = \frac{x_A + x_B + x_C}{3}\) et \(y_G = \frac{y_A + y_B + y_C}{3}\).

\[ x_G = \frac{3 + 5 + (-1)}{3} = \frac{7}{3}, \quad y_G = \frac{2 + 3 + (-2)}{3} = \frac{3}{3} = 1 \]

Donc \(G\left( \dfrac{7}{3} ; 1 \right)\).

3) Vecteurs \(\overrightarrow{AB}\) et \(\overrightarrow{AC}\) :

\(\overrightarrow{AB}(5-3; 3-2) = (2; 1)\)

\(\overrightarrow{AC}(-1-3; -2-2) = (-4; -4)\)

Déterminant : \(2 \times (-4) - 1 \times (-4) = -8 + 4 = -4 \neq 0\).

Les vecteurs ne sont pas colinéaires, donc les points \(A, B, C\) forment un triangle (non alignés).