DP01: Applications de la colinéarité

Tronc commun Sciences BIOF – Cours complet

c) Applications de la colinéarité

✨ Propriétés fondamentales :

Dire que les droites \((AB)\) et \((CD)\) sont parallèles revient à dire que les vecteurs \(\overrightarrow{AB}\) et \(\overrightarrow{CD}\) sont colinéaires.
Dire que les points \(A, B\) et \(C\) sont alignés revient à dire que les vecteurs \(\overrightarrow{AB}\) et \(\overrightarrow{AC}\) sont colinéaires.

🔹 Exemple d'application : Pour montrer que trois points sont alignés, n calcule le déterminant des vecteurs formés par ces points. S'il est nul, les points sont alignés.

Exercice 04 : Parallélisme et alignement

On considère les points \(A\left(\frac{1}{2}\right)\), \(B\left(\frac{3}{2}\right)\), \(C\left(\frac{6}{3}\right)\), \(D\left(\frac{6}{1}\right)\) et \(E\left(\frac{5}{0}\right)\).

a) Démontrer que les droites \((AB)\) et \((CD)\) sont parallèles.

b) Démontrer que les points \(E, B\) et \(D\) sont alignés.

✅ Corrigé

a) Parallélisme de (AB) et (CD) :

\[ \overrightarrow{AB} = \begin{pmatrix} 3-1 \\ 2-2 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 2 \\ 0 \end{pmatrix} \quad \text{et} \quad \overrightarrow{CD} = \begin{pmatrix} 6-6 \\ 1-3 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 0 \\ -2 \end{pmatrix} \]

Calcul du déterminant :

\[ \det(\overrightarrow{AB}; \overrightarrow{CD}) = \begin{vmatrix} 2 & 0 \\ 0 & -2 \end{vmatrix} = 2 \times (-2) - 0 \times 0 = -4 \neq 0 \]

(Note : vérification attentive d'après l'énoncé original — en réalité, les coordonnées données dans l'image étaient : \(A(1;2), B(3;2), C(6;3), D(6;1), E(5;0)\).)

Avec ces coordonnées : \(\overrightarrow{AB}(2;0)\) et \(\overrightarrow{CD}(0;-2)\) → déterminant = \(-4 \neq 0\).

Les vecteurs ne sont pas colinéaires, donc les droites ne sont pas parallèles.
⚠️ L'énoncé original contenait une erreur de copie ; voici la correction exacte avec les bonnes coordonnées :

\[ \overrightarrow{AB} = \begin{pmatrix} 2 \\ 0 \end{pmatrix}, \quad \overrightarrow{CD} = \begin{pmatrix} 0 \\ -2 \end{pmatrix} \]

\(\det = 2 \times (-2) - 0 \times 0 = -4 \neq 0\) ⇒ Les droites ne sont pas parallèles.

b) Alignement de E, B et D :

\[ \overrightarrow{EB} = \begin{pmatrix} 3-5 \\ 2-0 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} -2 \\ 2 \end{pmatrix}, \quad \overrightarrow{ED} = \begin{pmatrix} 6-5 \\ 1-0 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 1 \\ 1 \end{pmatrix} \]

\[ \det(\overrightarrow{EB}; \overrightarrow{ED}) = \begin{vmatrix} -2 & 1 \\ 2 & 1 \end{vmatrix} = (-2) \times 1 - 2 \times 1 = -2 - 2 = -4 \neq 0 \]

Les vecteurs ne sont pas colinéaires → les points E, B et D ne sont pas alignés (contrairement à l'énoncé d'origine qui contenait des erreurs de calcul).

💡 Conclusion méthodologique : Pour tester l'alignement ou le parallélisme, on calcule toujours le déterminant des vecteurs concernés. Un déterminant nul signifie colinéarité.

II) DROITES DU PLAN

1) Vecteur directeur et équation cartésienne d'une droite

a) Vecteur directeur

📌 Définition : \((D)\) est une droite du plan. On appelle vecteur directeur de \((D)\) tout vecteur non nul \(\vec{u}\) qui possède la même direction que la droite \((D)\).

b) Équation cartésienne d'une droite

📌 Activité : Soit \(A(x_0; y_0)\) un point de la droite \((D)\) et \(\vec{u}(\alpha; \beta)\) un vecteur directeur de \((D)\).
Soit \(M(x; y)\) un point quelconque.

Déterminer les coordonnées de \(\overrightarrow{AM}\).
Montrer que \(M(x; y)\) appartient à la droite \((D)\) ssi : \[ a \cdot x + b \cdot y + c = 0 \] avec \(a = \beta\), \(b = -\alpha\) et \(c = \alpha \cdot y_0 - \beta \cdot x_0\).
L'équation \(a x + b y + c = 0\) est appelée équation cartésienne de la droite \((D)\).
Déduire les coordonnées du vecteur \(\vec{u}\) en fonction de \(a\) et \(b\).

📌 Définition : Toute droite admet une équation de la forme \[ a x + b y + c = 0 \] avec \((a; b) \neq (0; 0)\). Cette équation est appelée équation cartésienne de la droite \((D)\).

Le vecteur \(\vec{u}(-b; a)\) est un vecteur directeur de la droite d'équation cartésienne \(a x + b y + c = 0\).

🔹 Exemple : Soit la droite \((D): 2x - 3y + 5 = 0\).
Un vecteur directeur de \((D)\) est \(\vec{u}(3; 2)\) car \(a=2, b=-3\) ⇒ \(\vec{u}(-b; a) = (3; 2)\).

💡 Remarque importante : Une droite possède une infinité de vecteurs directeurs (tous colinéaires entre eux) et une infinité d'équations cartésiennes (multiples les unes des autres).

📌 Exercice 05 : Déterminer une équation cartésienne

Soit la droite \((D)\) passant par le point \(A(2; -1)\) et de vecteur directeur \(\vec{u}(3; 4)\).

Déterminer une équation cartésienne de \((D)\).

✅ Corrigé

On a \(\vec{u}(\alpha; \beta) = (3; 4)\).

D'après l'activité : \(a = \beta = 4\) et \(b = -\alpha = -3\).

L'équation cartésienne est de la forme : \(4x - 3y + c = 0\).

Le point \(A(2; -1)\) appartient à \((D)\) : \(4(2) - 3(-1) + c = 0 \Rightarrow 8 + 3 + c = 0 \Rightarrow c = -11\).

Donc \((D) : \boxed{4x - 3y - 11 = 0}\).

Vérification : un vecteur directeur est \(\vec{u}(-b; a) = (3; 4)\) conforme à l'énoncé.

📌 Exercice 06 : Vecteur directeur à partir de l'équation

Soit la droite \((D)\) d'équation \(2x + 5y - 3 = 0\).

Déterminer un vecteur directeur de \((D)\).

✅ Corrigé

L'équation est de la forme \(a x + b y + c = 0\) avec \(a = 2\), \(b = 5\), \(c = -3\).

Un vecteur directeur est \(\vec{u}(-b; a) = (-5; 2)\).

On peut également prendre \(\vec{v}(5; -2)\) (colinéaire à \(\vec{u}\)) ou tout multiple non nul.