DP01: Équations cartésiennes & Représentation paramétrique

Tronc commun Sciences BIOF – Cours complet

🔹 Exemple : Un vecteur directeur de la droite d'équation cartésienne \(4x - 5y - 1 = 0\) est le vecteur de coordonnées \(\begin{pmatrix} 5 \\ 4 \end{pmatrix}\).
En effet, \(a = 4\) et \(b = -5\) donc \(\begin{pmatrix} -b \\ a \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 5 \\ 4 \end{pmatrix}\).

📌 Exercice 05 : Déterminer une équation cartésienne

a) Déterminer une équation cartésienne de la droite passant par le point \(A \begin{pmatrix} 3 \\ 1 \end{pmatrix}\) et de vecteur directeur \(\vec{u} \begin{pmatrix} -1 \\ 5 \end{pmatrix}\).

b) Déterminer une équation cartésienne de la droite passant par le point \(B \begin{pmatrix} 5 \\ 3 \end{pmatrix}\) et de vecteur directeur \(\vec{u} \begin{pmatrix} -1 \\ 3 \end{pmatrix}\).

✅ Corrigé

a) La droite \((d)\) admet une équation cartésienne de la forme \(ax + by + c = 0\).

Comme \(\vec{u} \begin{pmatrix} -1 \\ 5 \end{pmatrix}\) est un vecteur directeur de \((d)\), on a : \(\begin{pmatrix} -1 \\ 5 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} -b \\ a \end{pmatrix}\).

On en déduit : \(-b = -1 \Rightarrow b = 1\) et \(a = 5\).

Une équation de \((d)\) est donc de la forme : \(5x + 1y + c = 0\).

Pour déterminer \(c\), on utilise le point \(A(3;1)\) :

\(5 \times 3 + 1 \times 1 + c = 0 \Rightarrow 15 + 1 + c = 0 \Rightarrow 16 + c = 0 \Rightarrow c = -16\).

Donc \((d) : \boxed{5x + y - 16 = 0}\).

b) Une autre méthode : on utilise le déterminant.

La droite passe par \(B(5;3)\) et a pour vecteur directeur \(\vec{u} \begin{pmatrix} -1 \\ 3 \end{pmatrix}\).

On a \(\begin{pmatrix} -1 \\ 3 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} -b \\ a \end{pmatrix} \Rightarrow a = 3\) et \(b = 1\).

L'équation est de la forme : \(3x + 1y + c = 0\).

On utilise \(B(5;3)\) : \(3 \times 5 + 1 \times 3 + c = 0 \Rightarrow 15 + 3 + c = 0 \Rightarrow c = -18\).

Donc \((d') : \boxed{3x + y - 18 = 0}\).

💡 Remarque : Une autre méthode consiste à utiliser la condition de colinéarité entre \(\overrightarrow{AM}\) et \(\vec{u}\).

d) Représentation paramétrique d'une droite

📌 Activité : Soit \((D)\) la droite qui passe par \(A(x_A; y_A)\) et de vecteur directeur \(\vec{u} \begin{pmatrix} \alpha \\ \beta \end{pmatrix}\).
Soit \(M(x; y)\) un point de \((D)\). Montrer que : \[ \begin{cases} x = x_A + \alpha t \\ y = y_A + \beta t \end{cases} \quad (t \in \mathbb{R}) \]

📌 Définition : Le système \[ \begin{cases} x = x_A + \alpha t \\ y = y_A + \beta t \end{cases} \quad (t \in \mathbb{R}) \] est appelé représentation paramétrique de la droite \((D)\).
Le réel \(t\) est appelé paramètre.

💡 Remarque : Pour chaque valeur de \(t\), on obtient un point de la droite. Inversement, tout point de la droite correspond à une unique valeur de \(t\) (si \(\vec{u} \neq \vec{0}\)).

🔹 Exemple : Droite passant par \(A(2; -1)\) de vecteur directeur \(\vec{u}(3; 4)\) :
Représentation paramétrique : \[ \begin{cases} x = 2 + 3t \\ y = -1 + 4t \end{cases} \quad (t \in \mathbb{R}) \]

📌 Exercice 06 : Parallélisme et représentation paramétrique

1) Démontrer que les droites \((d_1)\) et \((d_2)\) d'équations respectives \(6x - 10y - 5 = 0\) et \(-9x + 15y = 0\) sont parallèles.

2) Déterminer une représentation paramétrique de \((d_1)\) et \((d_2)\).

✅ Corrigé

1) Parallélisme :

Pour \((d_1): 6x - 10y - 5 = 0\), on a \(a_1 = 6\), \(b_1 = -10\).
Un vecteur directeur est \(\vec{u} \begin{pmatrix} -b_1 \\ a_1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 10 \\ 6 \end{pmatrix}\) (ou \(\begin{pmatrix} 5 \\ 3 \end{pmatrix}\)).

Pour \((d_2): -9x + 15y = 0\), on a \(a_2 = -9\), \(b_2 = 15\).
Un vecteur directeur est \(\vec{v} \begin{pmatrix} -b_2 \\ a_2 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} -15 \\ -9 \end{pmatrix}\) (ou \(\begin{pmatrix} 5 \\ 3 \end{pmatrix}\)).

Calculons le déterminant :

\[ \det(\vec{u}; \vec{v}) = \begin{vmatrix} 10 & -15 \\ 6 & -9 \end{vmatrix} = 10 \times (-9) - 6 \times (-15) = -90 + 90 = 0 \]

Les vecteurs \(\vec{u}\) et \(\vec{v}\) sont colinéaires, donc les droites \((d_1)\) et \((d_2)\) sont parallèles.

2) Représentation paramétrique :

Pour \((d_1)\), cherchons un point appartenant à la droite.
En prenant \(x = 0\) dans \(6x - 10y - 5 = 0\) : \(-10y - 5 = 0 \Rightarrow y = -\frac{1}{2}\).
Donc \(A\left(0; -\dfrac{1}{2}\right) \in (d_1)\).

Un vecteur directeur est \(\vec{u} \begin{pmatrix} 10 \\ 6 \end{pmatrix}\).
D'où la représentation paramétrique de \((d_1)\) :

\[ (d_1) : \begin{cases} x = 0 + 10t \\ y = -\dfrac{1}{2} + 6t \end{cases} \quad (t \in \mathbb{R}) \]

Pour \((d_2): -9x + 15y = 0 \Rightarrow 15y = 9x \Rightarrow y = \dfrac{3}{5}x\).
La droite passe par l'origine \(O(0;0)\).

Un vecteur directeur est \(\vec{v} \begin{pmatrix} -15 \\ -9 \end{pmatrix}\) (ou \(\begin{pmatrix} 5 \\ 3 \end{pmatrix}\)).
D'où la représentation paramétrique de \((d_2)\) :

\[ (d_2) : \begin{cases} x = -15t \\ y = -9t \end{cases} \quad (t \in \mathbb{R}) \]

Ou plus simplement : \(\begin{cases} x = 5t \\ y = 3t \end{cases}\).

📌 Exercice 07 : Passage entre les représentations

1) Donner une équation cartésienne de la droite \((D)\) de représentation paramétrique : \[ \begin{cases} x = 2 - 3t \\ y = 1 + 4t \end{cases} \quad (t \in \mathbb{R}) \]

2) Donner une représentation paramétrique de la droite \((D')\) d'équation cartésienne \(2x - 3y + 6 = 0\).

✅ Corrigé

1) Passage paramétrique → cartésienne :

On a \(\begin{cases} x = 2 - 3t \\ y = 1 + 4t \end{cases}\).

On exprime \(t\) en fonction de \(x\) : \(t = \dfrac{2 - x}{3}\).

On remplace dans \(y\) : \(y = 1 + 4 \times \dfrac{2 - x}{3} = 1 + \dfrac{8 - 4x}{3} = \dfrac{3 + 8 - 4x}{3} = \dfrac{11 - 4x}{3}\).

D'où \(3y = 11 - 4x \Rightarrow 4x + 3y - 11 = 0\).

Donc \((D) : \boxed{4x + 3y - 11 = 0}\).

2) Passage cartésienne → paramétrique :

Pour \((D') : 2x - 3y + 6 = 0\).

Un vecteur directeur est \(\vec{u}(-b; a) = (3; 2)\).

Cherchons un point de \((D')\) : en prenant \(x = 0\), on a \(-3y + 6 = 0 \Rightarrow y = 2\). Donc \(A(0;2) \in (D')\).

Une représentation paramétrique est :

\[ (D') : \begin{cases} x = 0 + 3t \\ y = 2 + 2t \end{cases} \quad (t \in \mathbb{R}) \]