DP01: Équation réduite et pente d'une droite

Tronc commun Sciences BIOF – Cours complet

2) Équation réduite et pente d'une droite

📌 Activité :

Montrer que si \( b \neq 0 \), l'équation cartésienne \( a x + b y + c = 0 \) de la droite \( (D) \) peut être ramenée à une équation réduite \( y = m x + p \), avec \( m \) et \( p \) réels.
Montrer que si \( b = 0 \), alors l'équation cartésienne \( a x + b y + c = 0 \) de la droite \( (D) \) peut être ramenée à l'équation réduite \( x = n \), avec \( n \) un réel.
Dans ce cas, la droite \( (D) \) est parallèle à l'axe des ordonnées.

📌 Vocabulaire :

\( m \)** est appelé la pente ou le coefficient directeur de la droite \( (D) \).
\( p \)** est appelé l'ordonnée à l'origine.

✨ Propriété : Soit une droite \( d \).

Si \( d \) est parallèle à l'axe des ordonnées : alors l'équation de \( d \) est de la forme \( x = n \).
Si \( d \) n'est pas parallèle à l'axe des ordonnées : alors l'équation de \( d \) est de la forme \( y = m x + p \).
Cette équation est appelée équation réduite de la droite \( d \).

Pente à partir de deux points : Soient deux points distincts \( A(x_A; y_A) \) et \( B(x_B; y_B) \) d'une droite telle que \( x_A \neq x_B \).
Alors la droite a pour pente (coefficient directeur) : \[ \boxed{m = \frac{y_B - y_A}{x_B - x_A}} \]

🔹 Exemples :

L'équation \( y = -4x + 6 \) est l'équation réduite d'une droite avec \( m = -4 \) et \( p = 6 \).
L'équation \( x = 5 \) est l'équation d'une droite parallèle à l'axe des ordonnées avec \( n = 5 \).

📌 Exercice 07 : Passage entre les formes d'équation

a) Soit la droite \( d \) d'équation cartésienne \( 6x + 3y - 5 = 0 \). Déterminer l'équation réduite de \( d \).

b) Soit la droite \( d' \) d'équation réduite \( y = 6x - 5 \). Déterminer une équation cartésienne de \( d' \).

✅ Corrigé

a) Équation cartésienne → équation réduite :

On veut exprimer l'équation sous la forme \( y = m x + p \). Il s'agit donc d'isoler \( y \) dans l'équation.

\( 6x + 3y - 5 = 0 \)

\( 3y = -6x + 5 \)

\( y = \dfrac{-6x + 5}{3} \)

\( y = -2x + \dfrac{5}{3} \)

Donc l'équation réduite de \( d \) est : \( \boxed{y = -2x + \dfrac{5}{3}} \) avec \( m = -2 \) et \( p = \dfrac{5}{3} \).

b) Équation réduite → équation cartésienne :

On veut exprimer l'équation sous la forme \( ax + by + c = 0 \). Il s'agit de ramener tous les termes dans le membre de gauche.

\( y = 6x - 5 \)

\( 0 = 6x - y - 5 \)

Donc une équation cartésienne de \( d' \) est : \( \boxed{6x - y - 5 = 0} \).

3) Position relative de deux droites

✨ Propriété : Soient deux droites d'équations réduites \[ y = m x + p \quad \text{et} \quad y = m' x + p' \]

Les droites sont parallèles (ou confondues) si et seulement si leurs pentes sont égales : \( m = m' \).
Si \( m = m' \) et \( p = p' \), les droites sont confondues.
Si \( m = m' \) et \( p \neq p' \), les droites sont strictement parallèles.
Si \( m \neq m' \), les droites sont sécantes (elles se coupent en un point).

💡 Remarque : Lorsque les pentes sont différentes, les droites sont sécantes. Leur point d'intersection s'obtient en résolvant le système formé par leurs deux équations.

🔹 Exemple : Les droites \( d_1 \) et \( d_2 \) d'équations respectives \( y = 3x + 4 \) et \( y = 3x + 9 \) sont parallèles car elles ont la même pente égale à 3 (\( m = m' = 3 \)) mais des ordonnées à l'origine différentes (\( 4 \neq 9 \)).

📌 Cas particulier des droites verticales :
Deux droites verticales d'équations \( x = n \) et \( x = n' \) sont parallèles entre elles (toutes les deux parallèles à l'axe des ordonnées).

📌 Exercice 08 : Position relative de deux droites

Déterminer la position relative des deux droites suivantes :

1) \( d_1 : y = -2x - 5 \) et \( d_2 : y = -2x + 4 \)

2) \( d_3 : y = 2x + 1 \) et \( d_4 : y = -3x + 8 \)

3) \( d_5 : y = -x + 7 \) et \( d_6 : y = 3 \)

4) \( d_7 : x = 1 \) et \( d_8 : x = -8 \)

✅ Corrigé

1) \( d_1 : y = -2x - 5 \) et \( d_2 : y = -2x + 4 \)

Les deux droites ont la même pente \( m = -2 \).
Leurs ordonnées à l'origine sont différentes : \( p_1 = -5 \) et \( p_2 = 4 \).
Donc les droites sont strictement parallèles.

2) \( d_3 : y = 2x + 1 \) et \( d_4 : y = -3x + 8 \)

Les pentes sont différentes : \( m_3 = 2 \) et \( m_4 = -3 \).
Donc les droites sont sécantes (elles se coupent en un point unique).

3) \( d_5 : y = -x + 7 \) et \( d_6 : y = 3 \)

\( d_6 \) est une droite horizontale (pente \( m = 0 \)).
La pente de \( d_5 \) est \( m = -1 \).
Les pentes sont différentes, donc les droites sont sécantes.

Leur point d'intersection s'obtient en résolvant : \(-x + 7 = 3 \Rightarrow -x = -4 \Rightarrow x = 4\).
Donc \( I(4; 3) \).

4) \( d_7 : x = 1 \) et \( d_8 : x = -8 \)

Les deux droites sont verticales (parallèles à l'axe des ordonnées).
Elles sont toutes les deux parallèles entre elles et distinctes car les abscisses sont différentes (\( 1 \neq -8 \)).
Donc les droites sont strictement parallèles.

📊 Récapitulatif :
• Mêmes pentes + mêmes ord. à l'origine → confondues
• Mêmes pentes + ord. différentes → parallèles distinctes
• Pentes différentes → sécantes

📌 Exercice 09 : Déterminer une équation à partir de deux points

Soient les points \( A(2; 5) \) et \( B(4; 9) \).

1) Calculer la pente de la droite \( (AB) \).

2) Déterminer l'équation réduite de \( (AB) \).

3) Déterminer une équation cartésienne de \( (AB) \).

✅ Corrigé

1) Calcul de la pente :

\[ m = \frac{y_B - y_A}{x_B - x_A} = \frac{9 - 5}{4 - 2} = \frac{4}{2} = 2 \]

2) Équation réduite :

La droite a pour équation \( y = 2x + p \).
On utilise le point \( A(2;5) \) : \( 5 = 2 \times 2 + p \Rightarrow 5 = 4 + p \Rightarrow p = 1 \).

Donc \( (AB) : \boxed{y = 2x + 1} \).

3) Équation cartésienne :

À partir de \( y = 2x + 1 \), on transpose : \( 0 = 2x - y + 1 \).

Donc \( (AB) : \boxed{2x - y + 1 = 0} \).