DP01: Correction de l'exercice

Tronc commun Sciences BIOF – Cours complet

📌 Correction de l'exercice 08 (Position relative)

1) Les droites \( d_1 \) et \( d_2 \) sont parallèles car elles ont la même pente égale à \(-2\).

2) Les droites \( d_3 \) et \( d_4 \) sont sécantes car elles ont des pentes différentes \( 2 \) et \(-3\).

3) Les droites \( d_5 \) et \( d_6 \) sont sécantes car elles ont des pentes différentes \(-1\) et \(0\).

4) Les droites \( d_7 \) et \( d_8 \) sont parallèles car elles sont toutes deux parallèles à l'axe des ordonnées.

📌 Exercice 09 : Famille de droites paramétrées

On considère les droites \( (D_m) \) définies par \( (m-1)x - m y + 2 = 0 \) avec \( m \) un paramètre réel.

1) Montrer que pour tout réel \( m \), le point \( A(2;2) \) appartient à la droite \( (D_m) \).

2) Déterminer la valeur de \( m \) pour que \( B(1;-2) \) appartienne à \( (D_m) \).

3) Déterminer une valeur de \( m \) pour que la droite \( (D_m) \) soit parallèle à la droite \( (\Delta) \) d'équation : \( 2x - 3y + 5 = 0 \).

✅ Corrigé

1) Vérifions que \( A(2;2) \) vérifie l'équation de \( (D_m) \) :

\( (m-1) \times 2 - m \times 2 + 2 = 2m - 2 - 2m + 2 = 0 \)

Donc \( A(2;2) \) appartient à \( (D_m) \) pour tout réel \( m \).

2) \( B(1;-2) \) appartient à \( (D_m) \) :

\( (m-1) \times 1 - m \times (-2) + 2 = 0 \)

\( m - 1 + 2m + 2 = 0 \)

\( 3m + 1 = 0 \)

\( \boxed{m = -\dfrac{1}{3}} \)

3) Pour que \( (D_m) \) soit parallèle à \( (\Delta) : 2x - 3y + 5 = 0 \) :

Un vecteur directeur de \( (\Delta) \) est \( \vec{u}(3;2) \) (car \( a=2, b=-3 \Rightarrow \vec{u}(-b;a)=(3;2) \)).

Un vecteur directeur de \( (D_m) : (m-1)x - m y + 2 = 0 \) est \( \vec{u}'(m; m-1) \) (car \( a' = m-1, b' = -m \Rightarrow \vec{u}'(-b';a') = (m; m-1) \)).

Colinéarité : \( \dfrac{m}{3} = \dfrac{m-1}{2} \Rightarrow 2m = 3(m-1) \Rightarrow 2m = 3m - 3 \Rightarrow -m = -3 \Rightarrow \boxed{m = 3} \).

📌 Exercice 10 : Étude d'un triangle et de droites

Dans un repère orthonormé \( (O; \vec{i}; \vec{j}) \), on considère les points \( A(5;0) \), \( B(2;1) \) et \( C(6;3) \).

1) a) Déterminer les coordonnées des vecteurs \( \overrightarrow{AB} \) et \( \overrightarrow{AC} \).

b) Calculer \( \det(\overrightarrow{AB}; \overrightarrow{AC}) \) et déduire que \( A, B \) et \( C \) ne sont pas alignés.

c) Montrer que le triangle ABC est isocèle et rectangle en \( A \).

2) a) Déterminer une équation cartésienne de la droite \( (AB) \).

b) Déterminer une représentation paramétrique de la droite \( (AC) \).

c) Montrer que les droites \( (AB) \) et \( (AC) \) sont perpendiculaires.

3) On donne deux droites :

\( (D) : \begin{cases} x = 2 + 5t \\ y = 1 + t \end{cases} (t \in \mathbb{R}) \) et \( (D') : x + 2y + 3 = 0 \)

a) Montrer que \( B \in (D) \) et \( A \notin (D') \).

b) Montrer que les droites \( (D) \) et \( (D') \) sont sécantes en un point \( I \).

c) Déterminer les coordonnées du point \( I \).

✅ Corrigé

1) a) Coordonnées des vecteurs :

\( \overrightarrow{AB}(2-5; 1-0) = \overrightarrow{AB}(-3; 1) \)

\( \overrightarrow{AC}(6-5; 3-0) = \overrightarrow{AC}(1; 3) \)

b) Déterminant :

\( \det(\overrightarrow{AB}; \overrightarrow{AC}) = \begin{vmatrix} -3 & 1 \\ 1 & 3 \end{vmatrix} = (-3) \times 3 - 1 \times 1 = -9 - 1 = -10 \neq 0 \)

Les vecteurs ne sont pas colinéaires, donc les points \( A, B \) et \( C \) ne sont pas alignés. Ils forment un triangle.

c) Triangle isocèle et rectangle en \( A \) :

Calcul des distances :

\( AB = \sqrt{(-3)^2 + 1^2} = \sqrt{9 + 1} = \sqrt{10} \)

\( AC = \sqrt{1^2 + 3^2} = \sqrt{1 + 9} = \sqrt{10} \)

\( AB = AC \), donc le triangle est isocèle en \( A \)**.

Vérifions l'angle droit en \( A \) : \( \overrightarrow{AB} \cdot \overrightarrow{AC} = (-3) \times 1 + 1 \times 3 = -3 + 3 = 0 \)

Le produit scalaire est nul, donc \( \overrightarrow{AB} \perp \overrightarrow{AC} \). Le triangle est rectangle en \( A \)**.

2) a) Équation cartésienne de \( (AB) \) :

Un vecteur directeur de \( (AB) \) est \( \overrightarrow{AB}(-3; 1) \).

Donc \( a = 1 \) et \( b = 3 \) (car \( \vec{u}(-b;a) = (-3;1) \Rightarrow -b = -3 \Rightarrow b=3, a=1 \)).

Équation : \( 1x + 3y + c = 0 \). Avec \( A(5;0) \) : \( 5 + 0 + c = 0 \Rightarrow c = -5 \).

Donc \( (AB) : \boxed{x + 3y - 5 = 0} \).

b) Représentation paramétrique de \( (AC) \) :

Un vecteur directeur est \( \overrightarrow{AC}(1;3) \) et \( A(5;0) \).

\[ (AC) : \begin{cases} x = 5 + t \\ y = 0 + 3t \end{cases} \quad (t \in \mathbb{R}) \]

c) Perpendicularité de \( (AB) \) et \( (AC) \) :

On a déjà montré que \( \overrightarrow{AB} \cdot \overrightarrow{AC} = 0 \), donc les droites sont perpendiculaires.

3) a) Appartenance :

\( B(2;1) \) dans \( (D) \) : existe-t-il \( t \) tel que \( 2 = 2 + 5t \) et \( 1 = 1 + t \) ?

\( 2 = 2 + 5t \Rightarrow 5t = 0 \Rightarrow t = 0 \), et \( 1 = 1 + 0 \) vérifié. Donc \( B \in (D) \).

\( A(5;0) \) dans \( (D') : 5 + 2 \times 0 + 3 = 8 \neq 0 \), donc \( A \notin (D') \).

b) et c) Intersection de \( (D) \) et \( (D') \) :

On remplace \( x = 2 + 5t \) et \( y = 1 + t \) dans \( x + 2y + 3 = 0 \) :

\( (2 + 5t) + 2(1 + t) + 3 = 0 \)

\( 2 + 5t + 2 + 2t + 3 = 0 \)

\( 7 + 7t = 0 \Rightarrow 7t = -7 \Rightarrow t = -1 \)

Les droites sont sécantes (une seule solution pour \( t \)).

Coordonnées de \( I \) : \( x = 2 + 5(-1) = -3 \), \( y = 1 + (-1) = 0 \)

Donc \( \boxed{I(-3;0)} \).

📌 Exercice 11 : Synthèse - Droites et alignement

Soient les points \( A(-2;3) \), \( B(4;1) \) et \( C(1;-3) \).

1) Déterminer l'équation réduite de la droite \( (AB) \).

2) Le point \( C \) appartient-il à la droite \( (AB) \) ?

3) Déterminer l'équation cartésienne de la droite \( (D) \) passant par \( C \) et parallèle à \( (AB) \).

4) Déterminer le point d'intersection de \( (D) \) avec l'axe des abscisses.

✅ Corrigé

1) Pente de \( (AB) \) :

\[ m = \frac{1 - 3}{4 - (-2)} = \frac{-2}{6} = -\frac{1}{3} \]

Équation : \( y = -\frac{1}{3}x + p \). Avec \( A(-2;3) \) : \( 3 = -\frac{1}{3} \times (-2) + p \Rightarrow 3 = \frac{2}{3} + p \Rightarrow p = \frac{7}{3} \).

Donc \( (AB) : \boxed{y = -\dfrac{1}{3}x + \dfrac{7}{3}} \).

2) Test pour \( C(1;-3) \) :

\( -\frac{1}{3} \times 1 + \frac{7}{3} = -\frac{1}{3} + \frac{7}{3} = \frac{6}{3} = 2 \neq -3 \)

Donc \( C \notin (AB) \).

3) Droite \( (D) \) passant par \( C \) parallèle à \( (AB) \) :

Même pente \( m = -\frac{1}{3} \). Équation : \( y = -\frac{1}{3}x + p' \).

Avec \( C(1;-3) \) : \( -3 = -\frac{1}{3} \times 1 + p' \Rightarrow -3 = -\frac{1}{3} + p' \Rightarrow p' = -3 + \frac{1}{3} = -\frac{8}{3} \).

Donc \( (D) : \boxed{y = -\dfrac{1}{3}x - \dfrac{8}{3}} \).

Équation cartésienne : \( \dfrac{1}{3}x + y + \dfrac{8}{3} = 0 \Rightarrow x + 3y + 8 = 0 \).

4) Intersection avec l'axe des abscisses (\( y=0 \)) :

\( x + 3 \times 0 + 8 = 0 \Rightarrow x = -8 \). Donc \( \boxed{(-8;0)} \).