DP01: serie 2: | SeeDocx

📐 Tronc commun Sciences BIOF – Exercices corrigés

📌 Exercice 01 : Intersection de deux droites

Étudier l'intersection des droites \((D)\) et \((D')\) dans les cas suivants :

1) \((D) : \begin{cases} x = 4 - 3k \\ y = 1 + 2k \end{cases} (k \in \mathbb{R})\) et \((D') : \begin{cases} x = 3 - t \\ y = 2 + 2t \end{cases} (t \in \mathbb{R})\)

2) \((D) : 2x - y + 3 = 0\) et \((D') : x - y + 1 = 0\)

✅ Corrigé

1) On cherche \(k\) et \(t\) tels que :

\[ \begin{cases} 4 - 3k = 3 - t \\ 1 + 2k = 2 + 2t \end{cases} \]

De la première équation : \(t = 3 - 4 + 3k = -1 + 3k\).

On remplace dans la seconde : \(1 + 2k = 2 + 2(-1 + 3k) = 2 - 2 + 6k = 6k\).

D'où \(1 + 2k = 6k \Rightarrow 1 = 4k \Rightarrow k = \frac{1}{4}\).

Alors \(t = -1 + 3 \times \frac{1}{4} = -1 + \frac{3}{4} = -\frac{1}{4}\).

Les coordonnées du point d'intersection : \(x = 4 - 3 \times \frac{1}{4} = 4 - \frac{3}{4} = \frac{13}{4}\), \(y = 1 + 2 \times \frac{1}{4} = 1 + \frac{1}{2} = \frac{3}{2}\).

Donc \( \boxed{I\left(\frac{13}{4}; \frac{3}{2}\right)} \).

2) On résout le système :

\[ \begin{cases} 2x - y + 3 = 0 \\ x - y + 1 = 0 \end{cases} \]

Par soustraction : \((2x - y + 3) - (x - y + 1) = 0 \Rightarrow x + 2 = 0 \Rightarrow x = -2\).

En remplaçant dans \(x - y + 1 = 0\) : \(-2 - y + 1 = 0 \Rightarrow -1 - y = 0 \Rightarrow y = -1\).

Donc \( \boxed{I(-2; -1)} \).

📌 Exercice 02 : Droite (AB) et intersection avec les axes

Soient \(A(-2; -1)\) et \(B\left(\frac{1}{2}; -2\right)\) deux points du plan.

1) A) Donner une équation cartésienne de la droite \((AB)\).

B) Déterminer les coordonnées du point \(I\), intersection de \((AB)\) avec l'axe des abscisses.

2) Soit \((\Delta)\) la droite définie par : \((\Delta) : \begin{cases} x = -1 + 3t \\ y = -4 + 4t \end{cases} (t \in \mathbb{R})\).

A) Établir que le point \(B\) appartient à \((\Delta)\).

B) Donner une équation cartésienne de \((\Delta)\).

3) Construire les droites \((\Delta)\) et \((AB)\).

✅ Corrigé

1) A) Équation cartésienne de \((AB)\) :

\(\overrightarrow{AB}\left(\frac{1}{2} + 2; -2 + 1\right) = \left(\frac{5}{2}; -1\right)\).

Un vecteur directeur est \(\vec{u}(5; -2)\) (en multipliant par 2).

Donc \(a = -2\), \(b = -5\) (car \(\vec{u}(-b;a)\)).

Équation : \(-2x - 5y + c = 0\). Avec \(A(-2;-1)\) : \(-2(-2) - 5(-1) + c = 0 \Rightarrow 4 + 5 + c = 0 \Rightarrow c = -9\).

Donc \( \boxed{(AB) : -2x - 5y - 9 = 0 \text{ ou } 2x + 5y + 9 = 0} \).

B) Intersection avec l'axe des abscisses (\(y=0\)) :

\(2x + 9 = 0 \Rightarrow x = -\frac{9}{2}\). Donc \( \boxed{I\left(-\frac{9}{2}; 0\right)} \).

2) A) Appartenance de \(B\) à \((\Delta)\) :

On cherche \(t\) tel que : \(\frac{1}{2} = -1 + 3t \Rightarrow 3t = \frac{3}{2} \Rightarrow t = \frac{1}{2}\).

Vérifions pour \(y\) : \(-4 + 4 \times \frac{1}{2} = -4 + 2 = -2\) → correspond à l'ordonnée de \(B\). Donc \(B \in (\Delta)\).

B) Équation cartésienne de \((\Delta)\) :

Vecteur directeur \(\vec{u}(3;4)\). Donc \(a = 4\), \(b = -3\).

Équation : \(4x - 3y + c = 0\). Avec \(B\left(\frac{1}{2}; -2\right)\) : \(4 \times \frac{1}{2} - 3(-2) + c = 0 \Rightarrow 2 + 6 + c = 0 \Rightarrow c = -8\).

Donc \( \boxed{(\Delta) : 4x - 3y - 8 = 0} \).

📌 Exercice 03 : Triangle et repère barycentrique

Soit \(ABC\) un triangle dans le plan.

1) Construire les points \(L\), \(M\) et \(N\) tels que : \(\overrightarrow{BN} = \frac{1}{2}\overrightarrow{BC}\), \(\overrightarrow{MB} = \frac{1}{3}\overrightarrow{MA}\), \(\overrightarrow{CL} = \frac{1}{4}\overrightarrow{CA}\).

2) Déterminer les coordonnées des points \(L\), \(M\) et \(N\) dans le repère \((A, \overrightarrow{AB}, \overrightarrow{AC})\).

3) Écrire une équation cartésienne de la droite \((LM)\).

4) Montrer que les points \(L\), \(M\) et \(N\) sont alignés.

✅ Corrigé

1) Coordonnées des points dans le repère \((A, \overrightarrow{AB}, \overrightarrow{AC})\) :

On a \(A(0;0)\), \(B(1;0)\), \(C(0;1)\).

Point \(N\) : \(\overrightarrow{BN} = \frac{1}{2}\overrightarrow{BC}\). \(\overrightarrow{BC}(-1;1)\), donc \(\overrightarrow{BN}\left(-\frac{1}{2}; \frac{1}{2}\right)\).

\(N = B + \overrightarrow{BN} = \left(1 - \frac{1}{2}; 0 + \frac{1}{2}\right) = \left(\frac{1}{2}; \frac{1}{2}\right)\).

Point \(M\) : \(\overrightarrow{MB} = \frac{1}{3}\overrightarrow{MA} \Rightarrow \overrightarrow{MB} = \frac{1}{3}(\overrightarrow{MB} + \overrightarrow{BA})\).

Ou plus simplement : \(M\) est le barycentre. On écrit \(\overrightarrow{MB} = \frac{1}{3}\overrightarrow{MA} \Rightarrow 3\overrightarrow{MB} = \overrightarrow{MA} \Rightarrow 3\overrightarrow{MB} = \overrightarrow{MB} + \overrightarrow{BA} \Rightarrow 2\overrightarrow{MB} = \overrightarrow{BA} \Rightarrow \overrightarrow{BM} = \frac{1}{2}\overrightarrow{AB}\).

Donc \( \overrightarrow{AM} = \overrightarrow{AB} + \overrightarrow{BM} = \overrightarrow{AB} + \frac{1}{2}\overrightarrow{AB} = \frac{3}{2}\overrightarrow{AB}\).

D'où \(M\left(\frac{3}{2}; 0\right)\).

Point \(L\) : \(\overrightarrow{CL} = \frac{1}{4}\overrightarrow{CA}\). \(\overrightarrow{CA}(0;-1)\), donc \(\overrightarrow{CL}\left(0; -\frac{1}{4}\right)\).

\(L = C + \overrightarrow{CL} = \left(0; 1 - \frac{1}{4}\right) = \left(0; \frac{3}{4}\right)\).

3) Équation cartésienne de \((LM)\) :

\(L\left(0; \frac{3}{4}\right)\), \(M\left(\frac{3}{2}; 0\right)\). Vecteur \(\overrightarrow{LM}\left(\frac{3}{2}; -\frac{3}{4}\right) = \frac{3}{4}(2; -1)\).

Équation : \( -1 \times (x - 0) - 2 \times \left(y - \frac{3}{4}\right) = 0 \Rightarrow -x - 2y + \frac{3}{2} = 0 \Rightarrow x + 2y - \frac{3}{2} = 0\).

Soit \( \boxed{2x + 4y - 3 = 0} \).

4) Alignement de \(L, M, N\) :

\(N\left(\frac{1}{2}; \frac{1}{2}\right)\) vérifie-t-il l'équation ? \(2 \times \frac{1}{2} + 4 \times \frac{1}{2} - 3 = 1 + 2 - 3 = 0\). Donc \(N \in (LM)\). Les trois points sont alignés.

📌 Exercice 04 : Famille de droites paramétrées

Soient \(A(2;1)\), \(B(2;4)\), \(\vec{u}(5;2)\), \((D) : 2x - 3y + 1 = 0\) et \((D_m) : (m-1)x + 2my + 3 = 0\) avec \(m \in \mathbb{R}\).

1) Déterminer une équation cartésienne de la droite \((\Delta)\) passant par \(A\) et de vecteur directeur \(\vec{u}\).

2) Vérifier que \((D)\) et \((\Delta)\) sont sécantes et déterminer leur intersection.

3) A) Déterminer la valeur de \(m\) pour que \((D)\) et \((D_m)\) soient parallèles.

B) Déterminer la valeur de \(m\) pour que \(B \in (D_m)\).

4) Montrer que toutes les droites \((D_m)\) passent par le point \(C\left(3; \frac{3}{2}\right)\).

✅ Corrigé

1) Équation de \((\Delta)\) : \(\vec{u}(5;2) \Rightarrow a=2, b=-5\). Équation : \(2x - 5y + c = 0\). Avec \(A(2;1)\) : \(4 - 5 + c = 0 \Rightarrow c = 1\). Donc \(\boxed{(\Delta) : 2x - 5y + 1 = 0}\).

2) Intersection de \((D)\) et \((\Delta)\) :

\[ \begin{cases} 2x - 3y + 1 = 0 \\ 2x - 5y + 1 = 0 \end{cases} \]

Par soustraction : \(2y = 0 \Rightarrow y = 0\). Alors \(2x + 1 = 0 \Rightarrow x = -\frac{1}{2}\).

Donc \(\boxed{I\left(-\frac{1}{2}; 0\right)}\). Les droites sont bien sécantes car pentes différentes.

3) A) Parallélisme de \((D)\) et \((D_m)\) :

\((D) : 2x - 3y + 1 = 0\) a pour vecteur directeur \(\vec{u}(3;2)\).

\((D_m) : (m-1)x + 2my + 3 = 0\) a pour vecteur directeur \(\vec{u}_m(-2m; m-1)\).

Colinéarité : \(\det(\vec{u}; \vec{u}_m) = 3(m-1) - 2(-2m) = 3m - 3 + 4m = 7m - 3 = 0 \Rightarrow \boxed{m = \frac{3}{7}}\).

B) \(B(2;4) \in (D_m)\) :

\((m-1) \times 2 + 2m \times 4 + 3 = 0 \Rightarrow 2m - 2 + 8m + 3 = 0 \Rightarrow 10m + 1 = 0 \Rightarrow \boxed{m = -\frac{1}{10}}\).

4) Point fixe \(C\left(3; \frac{3}{2}\right)\) :

Vérifions que les coordonnées de \(C\) satisfont l'équation pour tout \(m\) :

\((m-1) \times 3 + 2m \times \frac{3}{2} + 3 = 3m - 3 + 3m + 3 = 6m\).

Ce n'est pas nul pour tout \(m\). Il y a probablement une erreur dans l'énoncé. Si on cherche un point fixe, on résout le système des coefficients. En réalité, pour \(m=0\), on a \(-x+3=0 \Rightarrow x=3\). Pour \(m=1\), on a \(2y+3=0 \Rightarrow y=-\frac{3}{2}\). Donc le point fixe est \((3; -\frac{3}{2})\).

📌 Exercice 05 : Trapèze et repère affine

Soit \(ABCD\) un trapèze à bases \([AB]\) et \([CD]\), \(I\) le point d'intersection de ses diagonales \([AC]\) et \([BD]\), \(J\) le point d'intersection de ses côtés \([AD]\) et \([BC]\).

On munit le plan d'un repère \((A, \overrightarrow{AB}, \overrightarrow{AD})\) et on pose \(x_C = a\) (l'abscisse du point \(C\)).

1) Donner les équations cartésiennes des droites \((AC)\) et \((BD)\) puis vérifier que \(\left(\frac{a}{a+1}; \frac{1}{a+1}\right)\) est le couple des coordonnées du point \(I\).

2) Donner les équations cartésiennes des droites \((AD)\) et \((BC)\) puis déterminer le couple des coordonnées du point \(J\).

✅ Corrigé

Dans le repère \((A, \overrightarrow{AB}, \overrightarrow{AD})\), on a :

\(A(0;0)\), \(B(1;0)\), \(D(0;1)\). Comme \(ABCD\) est un trapèze avec \((AB) \parallel (CD)\), on a \(C(a;1)\) avec \(a \neq 0\).

1) Droite \((AC)\) : passe par \(A(0;0)\) et \(C(a;1)\). Équation : \(y = \frac{1}{a}x\) ou \(x - ay = 0\).

Droite \((BD)\) : passe par \(B(1;0)\) et \(D(0;1)\). Équation : \(x + y = 1\).

Intersection \(I\) : on résout \(\begin{cases} x = ay \\ x + y = 1 \end{cases}\) ⇒ \(ay + y = 1 \Rightarrow y(a+1) = 1 \Rightarrow y = \frac{1}{a+1}\), \(x = \frac{a}{a+1}\).

Donc \( \boxed{I\left(\frac{a}{a+1}; \frac{1}{a+1}\right)} \).

2) Droite \((AD)\) : axe des ordonnées, équation \(x = 0\).

Droite \((BC)\) : passe par \(B(1;0)\) et \(C(a;1)\). Vecteur \(\overrightarrow{BC}(a-1;1)\).

Équation : \(1 \times (x - 1) - (a-1)(y - 0) = 0 \Rightarrow x - 1 - (a-1)y = 0 \Rightarrow x - (a-1)y = 1\).

Intersection \(J = (AD) \cap (BC)\) : \(x = 0\) ⇒ \(0 - (a-1)y = 1 \Rightarrow y = -\frac{1}{a-1}\).

Donc \( \boxed{J\left(0; -\frac{1}{a-1}\right)} \).

💡 Remarque : Si \(a=1\), alors \(C(1;1)\) et \(ABCD\) est un parallélogramme. Dans ce cas, \((BC)\) devient verticale et \(J\) est rejeté à l'infini (les droites \((AD)\) et \((BC)\) sont parallèles).