serie 3:

1) Coordonnées des vecteurs :

\(\overrightarrow{AB}(0+1; -2-1) = (1; -3)\)

\(\overrightarrow{AC}(4+1; -1-1) = (5; -2)\)

\(\overrightarrow{BD}(3-0; 2+2) = (3; 4)\)

2) Parallélogramme \(ABCD\) :

On vérifie que \(\overrightarrow{AB} = \overrightarrow{DC}\).

\(\overrightarrow{DC}(4-3; -1-2) = (1; -3)\). Donc \(\overrightarrow{AB} = \overrightarrow{DC}\). Ainsi \(ABCD\) est un parallélogramme.

3) Équation cartésienne de \((\Delta') = (AC)\) :

\(\overrightarrow{AC}(5; -2)\) est un vecteur directeur. Donc \(a = -2\), \(b = -5\).

Équation : \(-2x - 5y + c = 0\). Avec \(A(-1;1)\) : \(-2(-1) - 5(1) + c = 0 \Rightarrow 2 - 5 + c = 0 \Rightarrow c = 3\).

\(\boxed{(\Delta') : -2x - 5y + 3 = 0}\) ou \(2x + 5y - 3 = 0\).

4) \((\Delta)\) passe par \(B\) et \(D\) :

Pour \(B(0;-2)\) : existe-t-il \(t\) tel que \(0 = 3t+3 \Rightarrow t = -1\) et \(-2 = 4(-1)+2 = -2\) → vérifié.

Pour \(D(3;2)\) : \(3 = 3t+3 \Rightarrow t=0\) et \(2 = 4(0)+2 = 2\) → vérifié.

Donc \((\Delta)\) passe par \(B\) et \(D\).

5) Intersection \(E = (\Delta) \cap (\Delta')\) :

On remplace \(x = 3t+3\), \(y = 4t+2\) dans \(2x + 5y - 3 = 0\) :

\(2(3t+3) + 5(4t+2) - 3 = 6t+6 + 20t+10 - 3 = 26t + 13 = 0 \Rightarrow t = -\frac{1}{2}\).

\(x = 3(-\frac{1}{2})+3 = -\frac{3}{2}+3 = \frac{3}{2}\), \(y = 4(-\frac{1}{2})+2 = -2+2 = 0\).

\(\boxed{E\left(\frac{3}{2}; 0\right)}\).

6) Équation cartésienne de \((\Delta)\) :

Vecteur directeur \(\vec{u}(3;4)\), donc \(a=4\), \(b=-3\). Avec \(B(0;-2)\) : \(4(0) - 3(-2) + c = 0 \Rightarrow 6 + c = 0 \Rightarrow c = -6\).

\(\boxed{(\Delta) : 4x - 3y - 6 = 0}\).

8) a) \((\Delta)\) et \((D)\) sécantes :

Vecteur directeur de \((D)\) : \(\vec{v}(2;3)\). \(\det(\vec{u}; \vec{v}) = 3 \times 3 - 4 \times 2 = 9 - 8 = 1 \neq 0\). Donc non colinéaires → sécantes.

d) Intersection \(F\) : on résoud le système :

\((D) : x = 2t-3, y = 3t-3\). Dans \((\Delta) : 4x - 3y - 6 = 0\).

\(4(2t-3) - 3(3t-3) - 6 = 8t-12 -9t+9 -6 = -t -9 = 0 \Rightarrow t = -9\).

\(x = 2(-9)-3 = -18-3 = -21\), \(y = 3(-9)-3 = -27-3 = -30\).

\(\boxed{F(-21; -30)}\).

1) Vecteurs :

\(\overrightarrow{AB}(4+1; 4-2) = (5; 2)\) ; \(\overrightarrow{BC}(2-4; -1-4) = (-2; -5)\).

\(\det(\overrightarrow{AB}; \overrightarrow{BC}) = 5 \times (-5) - (-2) \times 2 = -25 + 4 = -21 \neq 0\) → non alignés.

2) Triangle isocèle :

\(AB = \sqrt{5^2+2^2} = \sqrt{25+4} = \sqrt{29}\)

\(AC = \sqrt{(2+1)^2+(-1-2)^2} = \sqrt{9+9} = \sqrt{18}\)

\(BC = \sqrt{(-2)^2+(-5)^2} = \sqrt{4+25} = \sqrt{29}\)

Donc \(AB = BC\) → le triangle est isocèle en \(B\).

3) a) \((\Delta) : x - \frac{5}{2}y - \frac{9}{2} = 0\).

Pour \(C(2;-1)\) : \(2 - \frac{5}{2}(-1) - \frac{9}{2} = 2 + \frac{5}{2} - \frac{9}{2} = 2 - \frac{4}{2} = 2 - 2 = 0\). Donc \(C \in (\Delta)\).

Vecteur directeur de \((\Delta)\) : \(\vec{u}\left(\frac{5}{2}; 1\right)\) soit \((5;2)\) = \(\overrightarrow{AB}\). Donc \((\Delta) \parallel (AB)\).

b) Équation réduite de \((\Delta)\) :

\(x - \frac{5}{2}y = \frac{9}{2} \Rightarrow -\frac{5}{2}y = -x + \frac{9}{2} \Rightarrow y = \frac{2}{5}x - \frac{9}{5}\).

\(\boxed{y = \frac{2}{5}x - \frac{9}{5}}\).

c) \((\Delta')\) passant par \(A\) et perpendiculaire à \((\Delta)\) :

Pente de \((\Delta)\) : \(m = \frac{2}{5}\). Donc pente de \((\Delta')\) : \(m' = -\frac{5}{2}\).

Équation : \(y - 2 = -\frac{5}{2}(x + 1) \Rightarrow y = -\frac{5}{2}x - \frac{5}{2} + 2 = -\frac{5}{2}x - \frac{1}{2}\).

\(\boxed{y = -\frac{5}{2}x - \frac{1}{2}}\).

Dans le repère \((A; \overrightarrow{AB}; \overrightarrow{AC})\), on a :

\(A(0;0)\), \(B(1;0)\), \(C(0;1)\).

1) Médiane issue de \(A\) : passe par \(A(0;0)\) et le milieu de \([BC]\) qui est \(I\left(\frac{1}{2}; \frac{1}{2}\right)\).

Son équation : \(y = x\).

Médiane issue de \(B\) : passe par \(B(1;0)\) et le milieu de \([AC]\) qui est \(J\left(0; \frac{1}{2}\right)\).

Vecteur directeur \(\overrightarrow{BJ}(-1; \frac{1}{2})\). Équation : \(\frac{1}{2}(x-1) - (-1)(y-0) = 0 \Rightarrow \frac{1}{2}x - \frac{1}{2} + y = 0 \Rightarrow x + 2y - 1 = 0\).

2) Centre de gravité \(G\) : intersection des médianes. On résout \(\begin{cases} y = x \\ x + 2y - 1 = 0 \end{cases}\).

\(x + 2x - 1 = 0 \Rightarrow 3x = 1 \Rightarrow x = \frac{1}{3}\), \(y = \frac{1}{3}\).

Donc \(\boxed{G\left(\frac{1}{3}; \frac{1}{3}\right)}\).

Dans le repère \((A; \overrightarrow{AB}; \overrightarrow{AC})\), on a :

\(A(0;0)\), \(B(1;0)\), \(C(0;1)\).

1) Droite \((AI)\) : \(I\) est le milieu de \([BC]\), donc \(I\left(\frac{1}{2}; \frac{1}{2}\right)\).

\((AI)\) passe par \(A(0;0)\) et \(I\), donc son équation est \(y = x\).

Comme \(M(a;b) \in (AI)\), on a \(\boxed{a = b}\).

2) Droite \((BC)\) : passe par \(B(1;0)\) et \(C(0;1)\).

Son équation est \(\boxed{x + y = 1}\).

3) Droite \((ME)\) : passe par \(M(a;a)\) et est parallèle à \((AC)\).

\((AC)\) est l'axe des ordonnées (\(x=0\)), donc \((ME)\) est verticale : \(\boxed{x = a}\).

Représentation paramétrique : \(\begin{cases} x = a \\ y = a + t \end{cases} (t \in \mathbb{R})\).

Droite \((MF)\) : passe par \(M(a;a)\) et est parallèle à \((AB)\).

\((AB)\) est l'axe des abscisses (\(y=0\)), donc \((MF)\) est horizontale : \(\boxed{y = a}\).

Représentation paramétrique : \(\begin{cases} x = a + t \\ y = a \end{cases} (t \in \mathbb{R})\).

4) Coordonnées de \(E\) et \(F\) :

\(E = (ME) \cap (BC)\) : \(x = a\) et \(x+y=1 \Rightarrow a+y=1 \Rightarrow y = 1-a\). Donc \(E(a; 1-a)\).

\(F = (MF) \cap (BC)\) : \(y = a\) et \(x+y=1 \Rightarrow x+a=1 \Rightarrow x = 1-a\). Donc \(F(1-a; a)\).

Milieu de \([EF]\) : \(\left(\frac{a + (1-a)}{2}; \frac{(1-a) + a}{2}\right) = \left(\frac{1}{2}; \frac{1}{2}\right) = I\).

Donc \(I\) est bien le milieu de \([EF]\).