serie 4:

Méthode 1 (déterminant) :

\[ \det(\vec{u}, \vec{v}) = \begin{vmatrix} 3 & -6 \\ -2 & 4 \end{vmatrix} = 3 \times 4 - (-6) \times (-2) = 12 - 12 = 0 \]

Donc \(\vec{u}\) et \(\vec{v}\) sont colinéaires.

Méthode 2 (relation vectorielle) :

\(\vec{u} = 3\vec{i} - 2\vec{j}\)

\(\vec{v} = -6\vec{i} + 4\vec{j} = -2(3\vec{i} - 2\vec{j}) = -2\vec{u}\)

Donc \(\vec{u}\) et \(\vec{v}\) sont colinéaires.

1) Colinéarité de \(\vec{u}\) et \(\vec{v}\) :

\[ \det(\vec{u}, \vec{v}) = \begin{vmatrix} 1 & x-2 \\ 3 & 5 \end{vmatrix} = 1 \times 5 - 3(x-2) = 5 - 3x + 6 = 11 - 3x \]

Les vecteurs sont colinéaires si \(\det = 0\) : \(11 - 3x = 0 \Rightarrow \boxed{x = \frac{11}{3}}\).

2) Alignement de \(A, B, C\) :

\(\overrightarrow{AB}(-3; -4)\) et \(\overrightarrow{AC}(0; 2)\).

\[ \det(\overrightarrow{AB}, \overrightarrow{AC}) = \begin{vmatrix} -3 & 0 \\ -4 & 2 \end{vmatrix} = (-3) \times 2 - 0 \times (-4) = -6 \neq 0 \]

Donc les points \(A, B\) et \(C\) ne sont pas alignés (contrairement à ce qui est écrit dans l'énoncé).

1) \(\vec{u}(3; 2m+1)\) et \(\vec{v}(2; m)\) :

\[ \det(\vec{u}, \vec{v}) = \begin{vmatrix} 3 & 2 \\ 2m+1 & m \end{vmatrix} = 3m - 2(2m+1) = 3m - 4m - 2 = -m - 2 \]

\(\det = 0 \Leftrightarrow -m - 2 = 0 \Leftrightarrow m = -2\).

• Si \(m = -2\), les vecteurs sont colinéaires.
• Si \(m \neq -2\), les vecteurs sont non colinéaires.

2) \(\vec{u}(m; 1)\) et \(\vec{v}(1; m)\) :

\[ \det(\vec{u}, \vec{v}) = \begin{vmatrix} m & 1 \\ 1 & m \end{vmatrix} = m \times m - 1 \times 1 = m^2 - 1 = (m-1)(m+1) \]

\(\det = 0 \Leftrightarrow m = 1\) ou \(m = -1\).

• Si \(m = 1\) ou \(m = -1\), les vecteurs sont colinéaires.
• Si \(m \neq 1\) et \(m \neq -1\), les vecteurs sont non colinéaires.

Pour \(t = 0\), on obtient le point \(A(-1; 11)\) qui appartient à \(D\).

Les coefficients de \(t\) donnent un vecteur directeur : \(\vec{u}(7; -4)\).

Donc : \(\boxed{A(-1;11) \in D}\) et \(\boxed{\vec{u}(7;-4)}\) est un vecteur directeur de \(D\).

1) Représentation paramétrique :

\(\overrightarrow{AB}(3+2; 7-1) = (5; 6)\). La droite \((AB)\) passe par \(A(-2;1)\) et a pour vecteur directeur \(\overrightarrow{AB}(5;6)\).

2) Intersection avec l'axe des abscisses (\(y=0\)) :

\(y = 1 + 6t = 0 \Rightarrow t = -\frac{1}{6}\).

Alors \(x = -2 + 5 \times \left(-\frac{1}{6}\right) = -2 - \frac{5}{6} = -\frac{17}{6}\).

Donc \(\boxed{C\left(-\frac{17}{6}; 0\right)}\).

Intersection avec l'axe des ordonnées (\(x=0\)) :

\(x = -2 + 5t = 0 \Rightarrow t = \frac{2}{5}\).

Alors \(y = 1 + 6 \times \frac{2}{5} = 1 + \frac{12}{5} = \frac{17}{5}\).

Donc \(\boxed{D\left(0; \frac{17}{5}\right)}\).

Méthode : Soit \(M(x;y)\) un point de \((D)\). Les vecteurs \(\overrightarrow{AM}(x-2; y-4)\) et \(\overrightarrow{AB}(3; -5)\) sont colinéaires.

\[ \det(\overrightarrow{AM}, \overrightarrow{AB}) = \begin{vmatrix} x-2 & 3 \\ y-4 & -5 \end{vmatrix} = (x-2)(-5) - 3(y-4) = -5x + 10 - 3y + 12 = -5x - 3y + 22 = 0 \]

Donc \(\boxed{(D) : 5x + 3y - 22 = 0}\).

Soit \(M(x;y)\) un point de \((D)\). Les vecteurs \(\overrightarrow{AM}(x-1; y+1)\) et \(\vec{u}(-1;3)\) sont colinéaires.

\[ \det(\overrightarrow{AM}, \vec{u}) = \begin{vmatrix} x-1 & -1 \\ y+1 & 3 \end{vmatrix} = 3(x-1) - (-1)(y+1) = 3x - 3 + y + 1 = 3x + y - 2 = 0 \]

Donc \(\boxed{(D) : 3x + y - 2 = 0}\).

\(\overrightarrow{AB}(5;10)\). En divisant par 5, on obtient un vecteur directeur \(\vec{u}(1;2)\).

Une équation cartésienne est de la forme \(2x - y + c = 0\) (car \(\vec{u}(-b;a) = (1;2) \Rightarrow a=2, b=-1\)).

On utilise le point \(A(5;13)\) : \(2 \times 5 - 13 + c = 0 \Rightarrow 10 - 13 + c = 0 \Rightarrow c = 3\).

Donc \(\boxed{(D) : 2x - y + 3 = 0}\).