متطلبات الإكمال
Série 8 - Colinéarité, représentations paramétriques, équations cartésiennes
Tronc commun Sciences BIOF – Exercices corrigés
📌 Exercice : Appartenance de points à une droite
On considère la droite \((AB)\) avec \(A(1;2)\) et \(B(-3;0)\). Vérifier si les points \(D(-1;1)\) et \(E(9;6)\) appartiennent à \((AB)\).
✅ Corrigé
Une représentation paramétrique de \((AB)\) est :
\[ (AB) : \begin{cases} x = 1 - 4t \\ y = 2 - 2t \end{cases} \quad (t \in \mathbb{R}) \]
Pour le point \(D(-1;1)\) :
\[ \begin{cases} -1 = 1 - 4t \\ 1 = 2 - 2t \end{cases} \]
De la première équation : \(-1 = 1 - 4t \Rightarrow -4t = -2 \Rightarrow t = \frac{1}{2}\).
De la seconde équation : \(1 = 2 - 2t \Rightarrow -2t = -1 \Rightarrow t = \frac{1}{2}\).
On trouve \(t = \frac{1}{2}\) dans les deux cas, donc \(D \in (AB)\).
Pour le point \(E(9;6)\) :
\[ \begin{cases} 9 = 1 - 4t \\ 6 = 2 - 2t \end{cases} \]
De la première équation : \(9 = 1 - 4t \Rightarrow -4t = 8 \Rightarrow t = -2\).
De la seconde équation : \(6 = 2 - 2t \Rightarrow -2t = 4 \Rightarrow t = -2\).
On trouve \(t = -2\) dans les deux cas, donc \(E \in (AB)\).
📌 Exercice 9 : Point et vecteur directeur
Donner un point et un vecteur directeur de la droite \(D\) de représentation paramétrique :
\(\begin{cases} x = 7t - 1 \\ y = -4t + 11 \end{cases} \quad (t \in \mathbb{R})\)
✅ Corrigé
Pour \(t = 0\), on obtient le point \(A(-1;11)\) qui appartient à \(D\).
Les coefficients de \(t\) donnent un vecteur directeur : \(\vec{u}(7; -4)\).
Donc : \(\boxed{A(-1;11) \in D}\) et \(\boxed{\vec{u}(7;-4)}\) est un vecteur directeur de \(D\).
📌 Exercice 10 : Représentation paramétrique et intersections avec les axes
Le plan est rapporté au repère orthonormé \((O; \vec{i}; \vec{j})\). Soient les points \(A(-2;1)\) et \(B(3;7)\).
1) Donner une représentation paramétrique de la droite \((AB)\).
2) Déterminer les points d'intersection de la droite \((AB)\) avec les axes du repère.
✅ Corrigé
1) Représentation paramétrique :
\(\overrightarrow{AB}(3+2; 7-1) = (5; 6)\). La droite \((AB)\) passe par \(A(-2;1)\) et a pour vecteur directeur \(\overrightarrow{AB}(5;6)\).
\[ (AB) : \begin{cases} x = -2 + 5t \\ y = 1 + 6t \end{cases} \quad (t \in \mathbb{R}) \]
2) Intersection avec l'axe des abscisses (\(y=0\)) :
\(y = 1 + 6t = 0 \Rightarrow t = -\frac{1}{6}\).
Alors \(x = -2 + 5 \times \left(-\frac{1}{6}\right) = -2 - \frac{5}{6} = -\frac{17}{6}\).
Donc \(\boxed{C\left(-\frac{17}{6}; 0\right)}\).
Intersection avec l'axe des ordonnées (\(x=0\)) :
\(x = -2 + 5t = 0 \Rightarrow t = \frac{2}{5}\).
Alors \(y = 1 + 6 \times \frac{2}{5} = 1 + \frac{12}{5} = \frac{17}{5}\).
Donc \(\boxed{D\left(0; \frac{17}{5}\right)}\).
📌 Exercice 11 : Équation cartésienne par deux points
Déterminer une équation cartésienne de la droite \((D)\) passant par les points \(A(2;4)\) et \(B(5;-1)\).
✅ Corrigé
Méthode 1 (colinéarité) : Soit \(M(x;y)\) un point de \((D)\). Les vecteurs \(\overrightarrow{AM}(x-2; y-4)\) et \(\overrightarrow{AB}(3; -5)\) sont colinéaires.
\[ \det(\overrightarrow{AM}, \overrightarrow{AB}) = \begin{vmatrix} x-2 & 3 \\ y-4 & -5 \end{vmatrix} = (x-2)(-5) - 3(y-4) = -5x + 10 - 3y + 12 = -5x - 3y + 22 = 0 \]
Donc \(\boxed{(D) : 5x + 3y - 22 = 0}\).
Méthode 2 (vecteur directeur puis équation) :
\(\overrightarrow{AB}(3;-5)\) est un vecteur directeur. Donc une équation cartésienne est de la forme : \(-5x - 3y + c = 0\).
En utilisant \(A(2;4)\) : \(-5 \times 2 - 3 \times 4 + c = 0 \Rightarrow -10 - 12 + c = 0 \Rightarrow c = 22\).
Soit \(-5x - 3y + 22 = 0\) ou \(\boxed{5x + 3y - 22 = 0}\).
📌 Exercice 12 : Équation cartésienne par point et vecteur directeur
Déterminer une équation cartésienne de la droite \((D)\) passant par le point \(A(1;-1)\) et de vecteur directeur \(\vec{u}(-1;3)\).
✅ Corrigé
Soit \(M(x;y)\) un point de \((D)\). Les vecteurs \(\overrightarrow{AM}(x-1; y+1)\) et \(\vec{u}(-1;3)\) sont colinéaires.
\[ \det(\overrightarrow{AM}, \vec{u}) = \begin{vmatrix} x-1 & -1 \\ y+1 & 3 \end{vmatrix} = 3(x-1) - (-1)(y+1) = 3x - 3 + y + 1 = 3x + y - 2 = 0 \]
Donc \(\boxed{(D) : 3x + y - 2 = 0}\).
📌 Exercice 13 : Équation cartésienne par deux points (simplification)
Déterminer une équation cartésienne de la droite \((D)\) passant par les points \(A(5;13)\) et \(B(10;23)\).
✅ Corrigé
\(\overrightarrow{AB}(5;10)\). En divisant par 5, on obtient un vecteur directeur \(\vec{u}(1;2)\).
Une équation cartésienne est de la forme \(2x - y + c = 0\) (car \(\vec{u}(-b;a) = (1;2) \Rightarrow a=2, b=-1\)).
On utilise le point \(A(5;13)\) : \(2 \times 5 - 13 + c = 0 \Rightarrow 10 - 13 + c = 0 \Rightarrow c = 3\).
Donc \(\boxed{(D) : 2x - y + 3 = 0}\).