serie 6:

Méthode 1 (vecteur directeur) :

On lit graphiquement \(\vec{u}(3;1)\) comme vecteur directeur.

Donc \(a = 1\) et \(b = -3\) (car \(\vec{u}(-b;a) = (3;1) \Rightarrow -b=3 \Rightarrow b=-3, a=1\)).

Une équation cartésienne est de la forme : \(x - 3y + c = 0\).

Le point \(A(4;1)\) appartient à \((D)\) : \(4 - 3 \times 1 + c = 0 \Rightarrow 4 - 3 + c = 0 \Rightarrow c = -1\).

Donc \(\boxed{(D) : x - 3y - 1 = 0}\).

Méthode 2 (deux points) :

Avec \(A(4;1)\) et \(B(-2;-1)\) : \(\overrightarrow{AB}(-6;-2)\) soit un vecteur directeur \(\vec{u}(3;1)\).

On aboutit à la même équation.

Équation réduite :

\(4x + 2y + 3 = 0 \Rightarrow 2y = -4x - 3 \Rightarrow \boxed{y = -2x - \frac{3}{2}}\).

Coefficient directeur : \(m = -2\).

Vecteur directeur : \(\vec{u}(1; -2)\) (car \(\vec{u}(1;m)\)) ou \(\vec{u}(-2;4)\) (car \(\vec{u}(-b;a)\) avec \(a=4, b=2\)).

1) \((D_1) : x + 2y - 3 = 0\)

Équation réduite : \(2y = -x + 3 \Rightarrow y = -\frac{1}{2}x + \frac{3}{2}\).

La droite passe par les points : pour \(x=0\), \(y=\frac{3}{2}\) ; pour \(y=0\), \(x=3\).

C'est une droite décroissante de pente \(-\frac{1}{2}\).

2) \((D_2) : x = 3\)

C'est une droite verticale passant par tous les points d'abscisse 3 (parallèle à l'axe des ordonnées).

3) \((D_3) : y = 2\)

C'est une droite horizontale passant par tous les points d'ordonnée 2 (parallèle à l'axe des abscisses).

1) \((D) : 2x - 4y + 3 = 0\) et \((D') : -x + 2y + 5 = 0\)

Vecteur directeur de \((D)\) : \(\vec{u}(4;2)\) (car \(\vec{u}(-b;a)\) avec \(a=2, b=-4\)).

Vecteur directeur de \((D')\) : \(\vec{v}(-2;-1)\) (car \(a'=-1, b'=2\)).

\[ \det(\vec{u}; \vec{v}) = \begin{vmatrix} 4 & -2 \\ 2 & -1 \end{vmatrix} = 4 \times (-1) - (-2) \times 2 = -4 + 4 = 0 \]

Les vecteurs sont colinéaires, donc les droites sont parallèles.

Vérifions si elles sont confondues : prenons un point de \((D)\).

Pour \(x=0\) : \(0 - 4y + 3 = 0 \Rightarrow y = \frac{3}{4}\). Donc \(A\left(0; \frac{3}{4}\right) \in (D)\).

Testons \(A\) dans \((D')\) : \(-0 + 2 \times \frac{3}{4} + 5 = \frac{3}{2} + 5 = \frac{13}{2} \neq 0\).

Donc \(A \notin (D')\). Les droites sont strictement parallèles.

2) \((D) : 2x + 5y - 2 = 0\) et \((D') : x + 3y - 2 = 0\)

Vecteur directeur de \((D)\) : \(\vec{u}(-5;2)\).

Vecteur directeur de \((D')\) : \(\vec{v}(-3;1)\).

\[ \det(\vec{u}; \vec{v}) = \begin{vmatrix} -5 & -3 \\ 2 & 1 \end{vmatrix} = (-5) \times 1 - (-3) \times 2 = -5 + 6 = 1 \neq 0 \]

Les vecteurs ne sont pas colinéaires, donc les droites sont sécantes.

Déterminons leur point d'intersection :

\[ \begin{cases} 2x + 5y - 2 = 0 \\ x + 3y - 2 = 0 \end{cases} \]

De la seconde équation : \(x = 2 - 3y\). Remplaçons dans la première :

\(2(2 - 3y) + 5y - 2 = 0 \Rightarrow 4 - 6y + 5y - 2 = 0 \Rightarrow 2 - y = 0 \Rightarrow y = 2\).

Alors \(x = 2 - 3 \times 2 = 2 - 6 = -4\).

Donc \(\boxed{I(-4;2)}\).