ENI09: Équations et inéquations et systèmes

📌 Présentation globale

Ce chapitre est consacré à la résolution d'équations et d'inéquations du premier degré à une inconnue. Vous apprendrez à résoudre différents types d'équations : linéaires, produits, quotients, avec valeurs absolues, ainsi que des problèmes concrets et des équations paramétriques.

🎯 Objectifs du chapitre :

Résoudre une équation du premier degré ax + b = 0
Résoudre une inéquation du premier degré
Maîtriser les équations produits et quotients
Résoudre des problèmes concrets (géométrie, etc.)
Discuter une équation paramétrique

I) Les équations du premier degré à une inconnue

📌 Définition :

On appelle équation du premier degré à une inconnue toute équation de la forme :

\[ ax + b = 0 \]

où les coefficients \(a\) et \(b\) sont des réels donnés et \(x\) est l'inconnue.
Résoudre l'équation, c'est déterminer l'ensemble de toutes les solutions noté \(S\).

🔹 Cas particuliers :

Si \(a \neq 0\), l'équation admet une unique solution : \(x = -\frac{b}{a}\)
Si \(a = 0\) et \(b \neq 0\), l'équation \(0x + b = 0\) est impossible → \(S = \emptyset\)
Si \(a = 0\) et \(b = 0\), l'équation \(0x + 0 = 0\) est vérifiée pour tout \(x\) → \(S = \mathbb{R}\)

2°) Exemples corrigés

Résoudre dans \(\mathbb{R}\) les équations suivantes :

📝 Équations fondamentales

\(x + 3 = -x\sqrt{2} - \sqrt{18}\)
\(3(2x + 5) = 6x - 1\)
\(4(x - 2) = 6x - 2(x + 4)\)
\((2x + 3)^2 - (2x + 3)(x - 4) = 0\)
\(x^2 - 100 = 0\)
\(\frac{3}{x + 2} - \frac{5}{x - 2} = 0\)
\(\frac{(x - 7)(x + 3)}{x^2 - 9} = 0\)
\(\frac{4x + 2}{x - 3} = 5\)
\(|7x - 10| = |6 + 3x|\)
\(x^3 - 7x = 0\)

✅ Corrigé détaillé

1) \(x + 3 = -x\sqrt{2} - \sqrt{18}\)
\(x + x\sqrt{2} = -3 - \sqrt{18}\)
\(x(1 + \sqrt{2}) = -3 - 3\sqrt{2}\)
\(x = \dfrac{-3 - 3\sqrt{2}}{1 + \sqrt{2}} = \dfrac{-3(1 + \sqrt{2})}{1 + \sqrt{2}} = -3\)
Donc \(\boxed{S = \{-3\}}\)

2) \(3(2x + 5) = 6x - 1\)
\(6x + 15 = 6x - 1\) → \(0x = -16\) → impossible
Donc \(\boxed{S = \emptyset}\)

3) \(4(x - 2) = 6x - 2(x + 4)\)
\(4x - 8 = 4x - 8\) → \(0 = 0\) → tous les réels sont solutions
Donc \(\boxed{S = \mathbb{R}}\)

4) \((2x + 3)^2 - (2x + 3)(x - 4) = 0\)
\((2x + 3)(2x + 3 - x + 4) = (2x + 3)(x + 7) = 0\)
\(x = -\dfrac{3}{2}\) ou \(x = -7\)
Donc \(\boxed{S = \left\{-7; -\dfrac{3}{2}\right\}}\)

5) \(x^2 - 100 = 0\)
\((x-10)(x+10) = 0\) → \(x = 10\) ou \(x = -10\)
Donc \(\boxed{S = \{-10; 10\}}\)

6) \(\dfrac{3}{x+2} - \dfrac{5}{x-2} = 0\)
Valeurs interdites : \(x \neq -2, 2\)
\(\dfrac{3(x-2)-5(x+2)}{(x+2)(x-2)} = 0\) → \(-2x - 16 = 0\) → \(x = -8\)
Donc \(\boxed{S = \{-8\}}\)

7) \(\dfrac{(x-7)(x+3)}{x^2-9} = 0\)
Valeurs interdites : \(x \neq 3, -3\)
\((x-7)(x+3) = 0\) → \(x = 7\) ou \(x = -3\)
\(x = -3\) est exclu → \(S = \{7\}\)
Donc \(\boxed{S = \{7\}}\)

8) \(\dfrac{4x+2}{x-3} = 5\)
Valeur interdite : \(x \neq 3\)
\(4x+2 = 5x-15\) → \(x = 17\)
Donc \(\boxed{S = \{17\}}\)

9) \(|7x-10| = |6+3x|\)
\(7x-10 = 6+3x\) ou \(7x-10 = -(6+3x)\)
\(x = 4\) ou \(x = \dfrac{2}{5}\)
Donc \(\boxed{S = \left\{\dfrac{2}{5}; 4\right\}}\)

10) \(x^3 - 7x = 0\)
\(x(x^2-7) = 0\) → \(x = 0\) ou \(x = \pm\sqrt{7}\)
Donc \(\boxed{S = \{-\sqrt{7}; 0; \sqrt{7}\}}\)

3°) Problème concret

📌 Exercice 2 : Rectangle

Quelle est la longueur d'un rectangle sachant que sa largeur est 6 cm et sa surface vaut le double de son périmètre ?

✅ Corrigé

Soit \(x\) la longueur du rectangle.
Surface : \(S = 6x\)
Périmètre : \(P = 2(6 + x) = 12 + 2x\)
La condition \(S = 2P\) donne : \(6x = 2(12 + 2x)\)
\(6x = 24 + 4x\) → \(2x = 24\) → \(x = 12\) cm
La longueur du rectangle est \(\boxed{12\text{ cm}}\).

4°) Équation paramétrique

📌 Exercice 3 : Discussion suivant le paramètre m

Résoudre dans \(\mathbb{R}\) et discuter suivant le paramètre \(m\) l'équation :

\[ (m - 2)x + 3mx - (m - x) - 5 = 0 \]

✅ Corrigé

On écrit l'équation sous la forme \(ax + b = 0\) :
\((m - 2)x + 3mx - m + x - 5 = 0\)
\((m - 2 + 3m + 1)x - m - 5 = 0\)
\((4m - 1)x - m - 5 = 0\)

📌 1er cas : \(4m - 1 \neq 0\) soit \(m \neq \dfrac{1}{4}\)
\((4m - 1)x = m + 5\) → \(x = \dfrac{m + 5}{4m - 1}\)
\(S = \left\{ \dfrac{m + 5}{4m - 1} \right\}\)

📌 2ème cas : \(4m - 1 = 0\) soit \(m = \dfrac{1}{4}\)
L'équation devient : \(0x - \dfrac{1}{4} - 5 = 0\) → \(0x - \dfrac{21}{4} = 0\)
Ceci est impossible.
\(S = \emptyset\)

II) Les inéquations du premier degré à une inconnue

a) Le signe du binôme \(ax + b\) \((a \in \mathbb{R}^*, b \in \mathbb{R})\)

📌 Tableau de signe :

\(x\)	\(-\infty\)	\(-\frac{b}{a}\)	\(+\infty\)
\(ax + b\)	signe de \(-a\)	0	signe de \(a\)

Si \(a > 0\) : \(ax + b\) est négatif avant \(-\frac{b}{a}\) et positif après.
Si \(a < 0\) : \(ax + b\) est positif avant \(-\frac{b}{a}\) et négatif après.

🔹 Exemple : Étudier le signe de \(3x + 6\) et \(-2x + 12\)

\(3x + 6 = 0\) → \(x = -2\)
\(3x + 6 > 0\) → \(x > -2\)
\(3x + 6 < 0\) → \(x < -2\)

\(-2x + 12 = 0\) → \(x = 6\)
\(-2x + 12 > 0\) → \(x < 6\)
\(-2x + 12 < 0\) → \(x > 6\)

b) Solution des inéquations du premier degré à une inconnue

📌 Définition :

On appelle inéquation du premier degré à une inconnue toute inéquation de la forme :

\[ ax + b \geq 0 \quad \text{ou} \quad ax + b \leq 0 \quad \text{ou} \quad ax + b > 0 \quad \text{ou} \quad ax + b < 0 \]

Résoudre l'inéquation, c'est déterminer l'ensemble de toutes les solutions noté \(S\).

🔹 Exemple : Résoudre l'inéquation \(3x + 6 > 0\)

\(3x + 6 > 0\) → \(3x > -6\) → \(x > -2\)
Donc \(S = ]-2; +\infty[\)