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Série - Inéquations
📐 Tronc commun Sciences BIOF – Exercices corrigés
📌 Exercice 5 : Inéquation avec racines
\[ \frac{4x-1}{\sqrt{2}-2} < \frac{4x-3}{\sqrt{2}+2} \]
✅ Corrigé
Mise au même dénominateur :
\[ \frac{(4x-1)(\sqrt{2}+2)-(\sqrt{2}-2)(4x-3)}{(\sqrt{2}+2)(\sqrt{2}-2)} < 0 \]
\[ \frac{(4x-1)(\sqrt{2}+2)-(\sqrt{2}-2)(4x-3)}{(\sqrt{2}+2)(\sqrt{2}-2)} < 0 \]
Développement :
\[ \frac{4\sqrt{2}x+8x-\sqrt{2}-2-4\sqrt{2}x+3\sqrt{2}+8x-6}{2-4} < 0 \]
\[ \frac{4\sqrt{2}x+8x-\sqrt{2}-2-4\sqrt{2}x+3\sqrt{2}+8x-6}{2-4} < 0 \]
Simplification :
\[ \frac{16x+2\sqrt{2}-8}{-6} < 0 \]
\[ \frac{16x+2\sqrt{2}-8}{-6} < 0 \]
\[ 16x+2\sqrt{2}-8 > 0 \quad \text{(changement de sens car division par -6)} \]
\[ 16x > 8-2\sqrt{2} \]
\[ x > \frac{8-2\sqrt{2}}{16} \]
\[ x > \frac{4-\sqrt{2}}{8} \]
\[ x > \frac{8-2\sqrt{2}}{16} \]
\[ x > \frac{4-\sqrt{2}}{8} \]
\[ S = \left]\frac{4-\sqrt{2}}{8}; +\infty\right[ \]
📌 Exercice 6 : \(16x^2 - 100 \leq 0\)
✅ Corrigé
\(16x^2 - 100 \leq 0\)
\((4x)^2 - 10^2 \leq 0\)
\((4x-10)(4x+10) \leq 0\)
\((4x)^2 - 10^2 \leq 0\)
\((4x-10)(4x+10) \leq 0\)
Recherche des racines :
\(4x-10 = 0 \Rightarrow x = \frac{5}{2}\)
\(4x+10 = 0 \Rightarrow x = -\frac{5}{2}\)
\(4x-10 = 0 \Rightarrow x = \frac{5}{2}\)
\(4x+10 = 0 \Rightarrow x = -\frac{5}{2}\)
Tableau de signes :
| \(x\) | \(-\infty\) | \(-\frac{5}{2}\) | \(\frac{5}{2}\) | \(+\infty\) |
|---|---|---|---|---|
| \(4x-10\) | \(-\) | \(-\) | \(-\) | \(+\) |
| \(4x+10\) | \(-\) | \(+\) | \(+\) | \(+\) |
| \((4x-10)(4x+10)\) | \(+\) | \(-\) | \(-\) | \(+\) |
\[ S = \left[-\frac{5}{2}; \frac{5}{2}\right] \]
📌 Exercice 7 : \((-2x+6)(x+2) > 0\)
✅ Corrigé
\((-2x+6)(x+2) = 0\)
\(-2x+6 = 0 \Rightarrow x = 3\)
\(x+2 = 0 \Rightarrow x = -2\)
\(-2x+6 = 0 \Rightarrow x = 3\)
\(x+2 = 0 \Rightarrow x = -2\)
Tableau de signes :
| \(x\) | \(-\infty\) | \(-2\) | \(3\) | \(+\infty\) |
|---|---|---|---|---|
| \(-2x+6\) | \(+\) | \(+\) | \(-\) | \(-\) |
| \(x+2\) | \(-\) | \(+\) | \(+\) | \(+\) |
| \((-2x+6)(x+2)\) | \(-\) | \(+\) | \(-\) | \(-\) |
\[ S = ]-2; 3[ \]
📌 Exercice 8 : \(\frac{2x+8}{x+1} \geq 0\)
📌 Méthode : Signe d'un quotient
• Le quotient de deux nombres de même signe est positif (+)
• Le quotient de deux nombres de signes différents est négatif (-)
• Cette inéquation existe si \(x+1 \neq 0\)
• Le quotient de deux nombres de même signe est positif (+)
• Le quotient de deux nombres de signes différents est négatif (-)
• Cette inéquation existe si \(x+1 \neq 0\)
✅ Corrigé
1) Domaine de définition :
\(x+1 \neq 0 \Rightarrow x \neq -1\)
\(D_E = \mathbb{R} \setminus \{-1\}\)
\(x+1 \neq 0 \Rightarrow x \neq -1\)
\(D_E = \mathbb{R} \setminus \{-1\}\)
2) Recherche des racines :
Numérateur : \(2x+8 = 0 \Rightarrow x = -4\)
Dénominateur : \(x+1 = 0 \Rightarrow x = -1\) (valeur interdite)
Numérateur : \(2x+8 = 0 \Rightarrow x = -4\)
Dénominateur : \(x+1 = 0 \Rightarrow x = -1\) (valeur interdite)
3) Tableau de signes :
| \(x\) | \(-\infty\) | \(-4\) | \(-1\) | \(+\infty\) |
|---|---|---|---|---|
| \(2x+8\) | \(-\) | \(0\) | \(+\) | \(+\) |
| \(x+1\) | \(-\) | \(-\) | \(0\) | \(+\) |
| \(\frac{2x+8}{x+1}\) | \(+\) | \(0\) | \(||\) | \(+\) |
\[ S = ]-\infty; -4] \cup ]-1; +\infty[ \]
Last modified: Saturday, 13 June 2026, 7:20 PM