متطلبات الإكمال
Série - Inéquations (Suite)
📐 Tronc commun Sciences BIOF – Exercices corrigés
📌 Exercice 5 : Problème concret
📌 Exercice 6 : \(\frac{2x+1}{x+2} \geq 3\)
📌 Méthode : Pour résoudre une inéquation du type \(A(x) \geq B(x)\)
1. Déterminer le domaine de définition
2. Se ramener à une comparaison à zéro et factoriser
3. Faire un tableau de signes et donner le résultat sous forme d'intervalle
1. Déterminer le domaine de définition
2. Se ramener à une comparaison à zéro et factoriser
3. Faire un tableau de signes et donner le résultat sous forme d'intervalle
✅ Corrigé
1) Domaine de définition :
\(x+2 \neq 0 \Rightarrow x \neq -2\)
\(D_E = \mathbb{R} \setminus \{-2\}\)
\(x+2 \neq 0 \Rightarrow x \neq -2\)
\(D_E = \mathbb{R} \setminus \{-2\}\)
2) On se ramène à zéro :
\[ \frac{2x+1}{x+2} - 3 \geq 0 \]
\[ \frac{2x+1 - 3(x+2)}{x+2} \geq 0 \]
\[ \frac{2x+1 - 3x - 6}{x+2} \geq 0 \]
\[ \frac{-x - 5}{x+2} \geq 0 \]
\[ \frac{2x+1}{x+2} - 3 \geq 0 \]
\[ \frac{2x+1 - 3(x+2)}{x+2} \geq 0 \]
\[ \frac{2x+1 - 3x - 6}{x+2} \geq 0 \]
\[ \frac{-x - 5}{x+2} \geq 0 \]
3) Tableau de signes :
Numérateur : \(-x-5 = 0 \Rightarrow x = -5\)
Dénominateur : \(x+2 = 0 \Rightarrow x = -2\) (valeur interdite)
Numérateur : \(-x-5 = 0 \Rightarrow x = -5\)
Dénominateur : \(x+2 = 0 \Rightarrow x = -2\) (valeur interdite)
| \(x\) | \(-\infty\) | \(-5\) | \(-2\) | \(+\infty\) |
|---|---|---|---|---|
| \(-x-5\) | \(+\) | \(0\) | \(-\) | \(-\) |
| \(x+2\) | \(-\) | \(-\) | \(0\) | \(+\) |
| \(\frac{-x-5}{x+2}\) | \(-\) | \(0\) | \(||\) | \(-\) |
⚠️ Attention : Ne pas oublier la double barre (||) pour la valeur interdite \(x = -2\)
\[ S = [-5; -2[ \]
📌 Exercice 7 : \(\frac{1}{x} < \frac{1}{2x-1}\)
✅ Corrigé
1) Domaine de définition :
\(x \neq 0\) et \(2x-1 \neq 0 \Rightarrow x \neq \frac{1}{2}\)
\(D_E = \mathbb{R} \setminus \{0; \frac{1}{2}\}\)
\(x \neq 0\) et \(2x-1 \neq 0 \Rightarrow x \neq \frac{1}{2}\)
\(D_E = \mathbb{R} \setminus \{0; \frac{1}{2}\}\)
2) On se ramène à zéro :
\[ \frac{1}{x} - \frac{1}{2x-1} < 0 \]
\[ \frac{(2x-1) - x}{x(2x-1)} < 0 \]
\[ \frac{x-1}{x(2x-1)} < 0 \]
\[ \frac{1}{x} - \frac{1}{2x-1} < 0 \]
\[ \frac{(2x-1) - x}{x(2x-1)} < 0 \]
\[ \frac{x-1}{x(2x-1)} < 0 \]
3) Recherche des racines :
Numérateur : \(x-1 = 0 \Rightarrow x = 1\)
Dénominateur : \(x = 0\) et \(2x-1 = 0 \Rightarrow x = \frac{1}{2}\) (valeurs interdites)
Numérateur : \(x-1 = 0 \Rightarrow x = 1\)
Dénominateur : \(x = 0\) et \(2x-1 = 0 \Rightarrow x = \frac{1}{2}\) (valeurs interdites)
4) Tableau de signes :
| \(x\) | \(-\infty\) | \(0\) | \(\frac{1}{2}\) | \(1\) | \(+\infty\) |
|---|---|---|---|---|---|
| \(x-1\) | \(-\) | \(-\) | \(-\) | \(0\) | \(+\) |
| \(x\) | \(-\) | \(0\) | \(+\) | \(+\) | \(+\) |
| \(2x-1\) | \(-\) | \(-\) | \(0\) | \(+\) | \(+\) |
| \(\frac{x-1}{x(2x-1)}\) | \(-\) | \(||\) | \(||\) | \(0\) | \(+\) |
\[ S = ]-\infty; 0[ \;\cup\; ]\frac{1}{2}; 1[ \]
آخر تعديل: السبت، 13 يونيو 2026، 7:58 PM