ENI09: inéquations du premier degré avec deux inconnues

📐 Tronc commun Sciences BIOF – Cours et exercices

📌 II) Les équations et les inéquations du premier degré avec deux inconnues

📌 Définition :

On appelle équation du premier degré à deux inconnues toute équation de la forme :

\[ ax + by + c = 0 \]

où les coefficients \(a\), \(b\) et \(c\) sont des réels donnés et le couple \((x; y)\) est l'inconnue dans \(\mathbb{R}^2\).

Résoudre l'équation dans \(\mathbb{R}^2\), c'est déterminer l'ensemble \(S\) des couples solutions de l'équation.

💡 Remarques :

L'équation \(ax + by + c = 0\) a une infinité de solutions.
On peut résoudre l'équation \(ax + by + c = 0\) graphiquement ou algébriquement.

📌 Exercice 7

Résoudre dans \(\mathbb{R}^2\) les équations suivantes :

1) \(2x - y + 4 = 0\)

2) \(x - 2y + 1 = 0\)

✅ Corrigé

1) \(2x - y + 4 = 0\)
On a \(2x - y + 4 = 0\) équivalent à : \(y = 2x + 4\)

\[ S = \{ (x; 2x+4) \mid x \in \mathbb{R} \} \]

2) \(x - 2y + 1 = 0\)
On a \(x - 2y + 1 = 0\) équivalent à : \(x = 2y - 1\)

\[ S = \{ (2y-1; y) \mid y \in \mathbb{R} \} \]

📌 Exercice 8 :

Inéquation à deux inconnues

Résoudre dans \(\mathbb{R}^2\) l'inéquation :

\[ 2x - y - 2 > 0 \]

✅ Corrigé

1) Droite associée :
L'équation de la droite \((D)\) est : \(2x - y - 2 = 0\)
Cette droite passe par les points \(A(0; -2)\) et \(B(1; 0)\).

2) Détermination du demi-plan :
La droite \((D)\) détermine deux demi-plans \(P_1\) et \(P_2\).
Pour savoir lequel est solution, on teste un point de référence.

Conseil : On choisit de préférence le point \(O(0; 0)\) pour simplifier les calculs.
(Si la droite passe par \(O\), on prendra un autre point.)

Test du point \(O(0; 0)\) :
On calcule : \(2 \times 0 - 0 - 2 = -2\)
On a \(-2 > 0\) ? Non, \(-2 < 0\)

Donc les coordonnées \((0; 0)\) ne vérifient pas l'inéquation \(2x - y - 2 > 0\).

Conclusion : L'ensemble des solutions \(S\) est le demi-plan qui ne contient pas le point \(O(0; 0)\), c'est-à-dire le demi-plan situé en dessous de la droite \((D)\) (frontière non incluse car inégalité stricte).

📐 Représentation graphique : La droite \((D): 2x - y - 2 = 0\) est tracée en pointillés (car inégalité stricte), et la région solution est le demi-plan qui ne contient pas l'origine.

📌 Récapitulatif : Méthode pour une inéquation à deux inconnues

📌 Méthode :

On écrit l'équation de la droite associée \(ax + by + c = 0\)
On trace la droite (en trait plein si inégalité large \(\geq\) ou \(\leq\), en pointillés si stricte \(>\) ou \(<\)
On choisit un point de référence (généralement l'origine \(O(0;0)\) si elle n'est pas sur la droite)
On teste si ce point vérifie l'inéquation
Le demi-plan solution est celui qui contient le point test si l'inégalité est vérifiée, sinon l'autre demi-plan

Modifié le: samedi 13 juin 2026, 19:56