Conditions d’achèvement
Tronc commun Sciences BIOF – Exercices corrigés
📌 Exercice 8 :
Résoudre dans \(\mathbb{R}^2\) l'inéquation \(2x - y - 2 > 0\)
✅ Corrigé
1) Droite associée :
L'équation de la droite \((D)\) est : \(2x - y - 2 = 0\)
Cette droite passe par les points \(A(0; -2)\) et \(B(1; 0)\).
L'équation de la droite \((D)\) est : \(2x - y - 2 = 0\)
Cette droite passe par les points \(A(0; -2)\) et \(B(1; 0)\).
2) Demi-plans déterminés par la droite :
La droite \((D)\) détermine deux demi-plans \(P_1\) et \(P_2\).
Il nous reste à trouver lequel des deux demi-plans est la solution de l'inéquation.
La droite \((D)\) détermine deux demi-plans \(P_1\) et \(P_2\).
Il nous reste à trouver lequel des deux demi-plans est la solution de l'inéquation.
💡 Conseil :
On choisit, de référence, le point \(O(0;0)\) (l'origine) ; c'est-à-dire \(x = 0\) et \(y = 0\).
Les calculs sont donc simplifiés.
⚠️ Si la droite passe par \(O\), on prendra un autre point.
On choisit, de référence, le point \(O(0;0)\) (l'origine) ; c'est-à-dire \(x = 0\) et \(y = 0\).
Les calculs sont donc simplifiés.
⚠️ Si la droite passe par \(O\), on prendra un autre point.
3) Test du point \(O(0;0)\) :
On calcule : \(2 \times 0 - 0 - 2 = -2\)
On a \(-2 > 0\) ? Non, \(-2 < 0\)
Donc les coordonnées \((0;0)\) ne vérifient pas l'inéquation \(2x - y - 2 > 0\).
On calcule : \(2 \times 0 - 0 - 2 = -2\)
On a \(-2 > 0\) ? Non, \(-2 < 0\)
Donc les coordonnées \((0;0)\) ne vérifient pas l'inéquation \(2x - y - 2 > 0\).
4) Conclusion :
Les solutions de l'inéquation \(2x - y - 2 > 0\) sont l'ensemble des couples \((x; y)\) des points \(M(x; y)\) du demi-plan \(P_1\) qui ne contient pas le point \(O(0;0)\), privé de la droite \((D)\) (car l'inégalité est stricte).
Les solutions de l'inéquation \(2x - y - 2 > 0\) sont l'ensemble des couples \((x; y)\) des points \(M(x; y)\) du demi-plan \(P_1\) qui ne contient pas le point \(O(0;0)\), privé de la droite \((D)\) (car l'inégalité est stricte).
📌 Résultat : La région solution est le demi-plan coloré en bleu sur le graphique (côté opposé à l'origine).
📌 Exercice 9 : Système d'inéquations
Résoudre dans \(\mathbb{R}^2\) le système d'inéquations suivant :
\begin{cases} x + y - 1 \geq 0 \\ -x + 2y + 2 \leq 0 \end{cases}
Point test O(0;0)
Point test O(0;0)
✅ Corrigé
1) Droites associées :
\((D_1) : x + y - 1 = 0\)
\((D_2) : -x + 2y + 2 = 0\)
\((D_1) : x + y - 1 = 0\)
\((D_2) : -x + 2y + 2 = 0\)
2) Test du point \(O(0;0)\) pour la première inéquation :
\(0 + 0 - 1 \geq 0\) équivaut à \(-1 \geq 0\) → Faux
Donc \(O(0;0)\) ne vérifie pas \(x + y - 1 \geq 0\).
La région solution est le demi-plan opposé à celui contenant \(O\).
\(0 + 0 - 1 \geq 0\) équivaut à \(-1 \geq 0\) → Faux
Donc \(O(0;0)\) ne vérifie pas \(x + y - 1 \geq 0\).
La région solution est le demi-plan opposé à celui contenant \(O\).
3) Test du point \(O(0;0)\) pour la deuxième inéquation :
\(-0 + 2 \times 0 + 2 \leq 0\) équivaut à \(2 \leq 0\) → Faux
Donc \(O(0;0)\) ne vérifie pas \(-x + 2y + 2 \leq 0\).
La région solution est le demi-plan opposé à celui contenant \(O\).
\(-0 + 2 \times 0 + 2 \leq 0\) équivaut à \(2 \leq 0\) → Faux
Donc \(O(0;0)\) ne vérifie pas \(-x + 2y + 2 \leq 0\).
La région solution est le demi-plan opposé à celui contenant \(O\).
4) Intersection des deux demi-plans :
La solution du système est l'intersection des deux régions (colorée en bleu sur le graphique).
La solution du système est l'intersection des deux régions (colorée en bleu sur le graphique).
📌 Conclusion : L'ensemble des solutions \(S\) est l'ensemble des couples \((x; y)\) des points \(M(x; y)\) du plan situés dans la région hachurée (intersection des deux demi-plans).
